Номер 44, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Даны векторы $\vec{a} (-2; 4; 1)$, $\vec{b} (3; -1; 4)$, $\vec{c} (-1; -3; z)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$?

44. Даны векторы $\vec{a} (-2; 4; 1)$, $\vec{b} (3; -1; 4)$, $\vec{c} (-1; -3; z)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, сначала найдем координаты этого вектора. Обозначим результирующий вектор как $\vec{d}$.

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Координаты вектора $\vec{d}$ находятся путем сложения и вычитания соответствующих координат векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} = (-2; 4; 1)$

$\vec{b} = (3; -1; 4)$

$\vec{c} = (-1; -3; z)$

Вычислим координаты вектора $\vec{d} = (x_d; y_d; z_d)$:

$x_d = -2 + 3 - (-1) = -2 + 3 + 1 = 2$

$y_d = 4 + (-1) - (-3) = 4 - 1 + 3 = 6$

$z_d = 1 + 4 - z = 5 - z$

Таким образом, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(2; 6; 5 - z)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (5 - z)^2}$

$|\vec{d}| = \sqrt{4 + 36 + (5 - z)^2}$

$|\vec{d}| = \sqrt{40 + (5 - z)^2}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Значение выражения $\sqrt{40 + (5 - z)^2}$ будет наименьшим, когда подкоренное выражение $40 + (5 - z)^2$ будет наименьшим.

Выражение $(5 - z)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее возможное значение равно 0. Это достигается при условии $5 - z = 0$, то есть $z = 5$.

Подставим это минимальное значение в выражение для модуля:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{40 + 0} = \sqrt{40}$

Упростим полученный результат:

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

Таким образом, наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ равно $2\sqrt{10}$.

Ответ: $2\sqrt{10}$