Номер 37, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14). Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{B_1A_1}$;

2) $\overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{B_1A}$.

Рис. 14

37. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 14). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{CB} + \vec{B_1 A}$;

2) $\vec{CC_1} + \vec{B_1 A}$.

Рис. 14

1) Для нахождения суммы векторов $\vec{CB} + \vec{B_1A_1}$ воспользуемся свойствами призмы $ABCA_1B_1C_1$.
Основания призмы, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, параллельны и равны. Это означает, что соответствующие стороны оснований параллельны и равны по длине, поэтому соответствующие векторы равны:
$\vec{B_1A_1} = \vec{BA}$
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{CB} + \vec{B_1A_1} = \vec{CB} + \vec{BA}$
Теперь, согласно правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. В данном случае:
$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$

Ответ: $\vec{CA}$

2) Для нахождения суммы векторов $\vec{CC_1} + \vec{B_1A}$ также воспользуемся свойствами призмы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны. Следовательно, векторы, лежащие на этих ребрах, равны между собой:
$\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{AA_1}$
Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$:
$\vec{CC_1} + \vec{B_1A} = \vec{BB_1} + \vec{B_1A}$
Применим правило треугольника для сложения векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{B_1A}$. Конец первого вектора (точка $B_1$) является началом второго вектора. Значит, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка $B$) и конец второго (точка $A$):
$\vec{BB_1} + \vec{B_1A} = \vec{BA}$

Ответ: $\vec{BA}$