Номер 38, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. На рисунке 15 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{B_1D_1} + \overrightarrow{CB};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1D} + \overrightarrow{CC_1}.$

Рис. 15

38. На рисунке 15 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1D_1} + \vec{CB};$

2) $\vec{AB} + \vec{B_1D} + \vec{CC_1}.$

Рис. 15

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде. В параллелепипеде противолежащие грани являются равными параллелограммами, поэтому векторы, соответствующие параллельным и сонаправленным ребрам, равны. Например, $\overline{A_1B_1} = \overline{AB}$, $\overline{BC} = \overline{A_1D_1}$, $\overline{AA_1} = \overline{BB_1}$ и т.д. Также будем использовать правило треугольника для сложения векторов: $\overline{XY} + \overline{YZ} = \overline{XZ}$.

1) Найдем сумму векторов $\overline{B_1D_1} + \overline{CB}$.

Векторы, соединяющие соответственные вершины верхнего и нижнего оснований, равны. В частности, диагонали верхнего и нижнего оснований образуют равные векторы: $\overline{B_1D_1} = \overline{BD}$.

Также в параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, но векторы $\overline{CB}$ и $\overline{AD}$ противоположно направлены, а векторы $\overline{CB}$ и $\overline{DA}$ равны ($\overline{CB} = \overline{DA}$).

Заменим в исходном выражении вектор $\overline{B_1D_1}$ на равный ему вектор $\overline{BD}$:

$\overline{B_1D_1} + \overline{CB} = \overline{BD} + \overline{CB}$

Воспользуемся свойством коммутативности (переместительности) сложения векторов и применим правило треугольника:

$\overline{CB} + \overline{BD} = \overline{CD}$

Ответ: $\overline{CD}$

2) Найдем сумму векторов $\overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{CC_1}$.

Для удобства сложения заменим некоторые векторы на равные им. Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, поэтому $\overline{CC_1} = \overline{BB_1}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{CC_1} = \overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{BB_1}$

Переставим векторы, чтобы применить правило треугольника последовательно:

$\overline{AB} + \overline{BB_1} + \overline{B_1D}$

Сначала сложим первые два вектора:

$\overline{AB} + \overline{BB_1} = \overline{AB_1}$

Теперь прибавим к результату третий вектор:

$\overline{AB_1} + \overline{B_1D} = \overline{AD}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\overline{AD}$.

Ответ: $\overline{AD}$