Номер 39, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 4;

2) 7; 1; 8;

3) 3; 5; 9?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 4;

2) 7; 1; 8;

3) 3; 5; 9?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором, если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Геометрически это означает, что если отложить эти векторы последовательно друг за другом (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего), то конец последнего вектора совпадет с началом первого. Это возможно тогда и только тогда, когда модули векторов удовлетворяют неравенству треугольника.

Для трех отрезков с длинами $a$, $b$ и $c$ неравенство треугольника означает, что длина любой стороны должна быть меньше или равна сумме длин двух других сторон. Если предположить, что $c$ — наибольшая из длин, то достаточно проверить выполнение одного условия: $c \le a + b$.

Пусть модули векторов равны $a = 2$, $b = 3$ и $c = 4$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 4. Найдем сумму двух других длин:

$2 + 3 = 5$

Так как $4 < 5$, условие $4 \le 2 + 3$ выполняется. Следовательно, из отрезков с такими длинами можно составить треугольник. Это означает, что можно расположить три вектора с данными модулями так, чтобы их сумма была равна нулевому вектору.

Ответ: Да.

Пусть модули векторов равны $a = 7$, $b = 1$ и $c = 8$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 8. Найдем сумму двух других длин:

$7 + 1 = 8$

Так как $8 = 8$, условие $8 \le 7 + 1$ выполняется. Этот случай соответствует вырожденному треугольнику, когда все три вектора коллинеарны (расположены на одной прямой). Чтобы их сумма была нулевой, векторы с модулями 7 и 1 должны быть сонаправлены, а вектор с модулем 8 должен быть направлен в противоположную сторону.

Ответ: Да.

Пусть модули векторов равны $a = 3$, $b = 5$ и $c = 9$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 9. Найдем сумму двух других длин:

$3 + 5 = 8$

Так как $9 > 8$, условие $9 \le 3 + 5$ не выполняется. Это означает, что из отрезков с такими длинами невозможно составить треугольник (даже вырожденный).

Алгебраически, если сумма векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, то $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$. Тогда их модули связаны соотношением $|\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}|$. Согласно неравенству треугольника для векторов, $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Отсюда следует, что $|\vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Подставляя наши значения, получаем: $9 \le 3 + 5$, то есть $9 \le 8$, что является ложным утверждением. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевой.

Ответ: Нет.