Номер 36, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $C (8; -9; 11)$ является точка $C_1 (4; -4; 8)$, а образом точки $D (1; -6; 13)$ — точка $D_1 (-3; -1; 10)$?

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $C (8; -9; 11)$ является точка $C_1 (4; -4; 8)$, а образом точки $D (1; -6; 13)$ — точка $D_1 (-3; -1; 10)$?

Параллельный перенос — это преобразование пространства, при котором все точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое преобразование задается вектором переноса. Если точка $A(x_A; y_A; z_A)$ переходит в точку $A_1(x_{A1}; y_{A1}; z_{A1})$, то вектор переноса $\vec{v}$ имеет координаты $(x_{A1} - x_A; y_{A1} - y_A; z_{A1} - z_A)$.

Чтобы определить, существует ли единый параллельный перенос для двух пар точек, необходимо найти векторы переноса для каждой пары и сравнить их. Если векторы окажутся одинаковыми, то такой перенос существует.

1. Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$, который переводит точку $C(8; -9; 11)$ в точку $C_1(4; -4; 8)$.

Координаты вектора $\vec{v_1}$ равны разности соответствующих координат точек $C_1$ и $C$:
$x_1 = 4 - 8 = -4$
$y_1 = -4 - (-9) = -4 + 9 = 5$
$z_1 = 8 - 11 = -3$
Таким образом, вектор переноса $\vec{v_1} = (-4; 5; -3)$.

2. Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$, который переводит точку $D(1; -6; 13)$ в точку $D_1(-3; -1; 10)$.

Координаты вектора $\vec{v_2}$ равны разности соответствующих координат точек $D_1$ и $D$:
$x_2 = -3 - 1 = -4$
$y_2 = -1 - (-6) = -1 + 6 = 5$
$z_2 = 10 - 13 = -3$
Таким образом, вектор переноса $\vec{v_2} = (-4; 5; -3)$.

3. Сравним полученные векторы.

Вектор $\vec{v_1} = (-4; 5; -3)$ и вектор $\vec{v_2} = (-4; 5; -3)$. Поскольку $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, это означает, что обе пары точек смещаются на один и тот же вектор. Следовательно, такой параллельный перенос существует.

Ответ: да, существует.