Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $b$ от него (рис. 10). Найдите объём тела вращения.

Рис. 10

317. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $b$ от него (рис. 10). Найдите объём тела вращения.

Рис. 10

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объём тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры на длину окружности, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры. Формула имеет вид: $V = S \cdot 2\pi R$, где $S$ — площадь фигуры, а $R$ — расстояние от центра масс фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь равнобедренного треугольника (S)

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle A = \angle C = \alpha$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Высоту $h = BH$ можно найти через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{BH}{HC} = \frac{h}{a/2}$

Отсюда высота треугольника:

$h = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$

Теперь найдем площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$

2. Найдем расстояние от центра масс треугольника до оси вращения (R)

Центр масс (центроид) треугольника находится на пересечении его медиан. Он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, центр масс расположен на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания $AC$.

Расстояние от центра масс до основания $AC$ равно:

$h_c = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha) = \frac{a}{6} \tan(\alpha)$

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $b$ от него. Поскольку ось вращения и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания $AC$ (как показано на рисунке), расстояние $R$ от центра масс до оси вращения будет суммой расстояния от центра масс до основания ($h_c$) и расстояния от основания до оси ($b$).

$R = h_c + b = \frac{a}{6} \tan(\alpha) + b$

3. Вычислим объем тела вращения (V)

Теперь подставим найденные значения площади $S$ и расстояния $R$ в формулу объема тела вращения:

$V = S \cdot 2\pi R = \left(\frac{a^2}{4} \tan(\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$

Упростим выражение:

$V = \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha) \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$

Этот результат можно также записать, раскрыв скобки:

$V = \frac{\pi a^2 b}{2} \tan(\alpha) + \frac{\pi a^3}{12} \tan^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha) \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$

318. Радиус шара равен 6 см. Найдите его объём.

318. Радиус шара равен 6 см. Найдите его объём.

318.

Объём шара вычисляется по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

По условию задачи, радиус шара равен 6 см. Подставим это значение в формулу:
$R = 6$ см

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216$

Сократим 216 и 3:
$V = 4\pi \cdot \frac{216}{3} = 4\pi \cdot 72$

$V = 288\pi$

Таким образом, объём шара составляет $288\pi$ кубических сантиметров.

Ответ: $288\pi \text{ см}^3$.

319. Радиусы двух шаров относятся как 3 : 4. Найдите отношение их объёмов.

319. Радиусы двух шаров относятся как 3 : 4. Найдите отношение их объёмов.

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$. Согласно условию задачи, их отношение составляет 3 к 4. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{4}$

Объём шара ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Найдём объёмы первого и второго шаров, используя эту формулу:

$V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$

$V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$

Теперь найдём отношение их объёмов, разделив $V_1$ на $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3} \pi$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

Подставим в это выражение известное нам отношение радиусов $\frac{3}{4}$:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$

Следовательно, отношение объёмов двух шаров равно 27 : 64.

Ответ: 27 : 64.

320. Во сколько раз надо уменьшить радиус шара, чтобы его объём уменьшился в 7 раз?

320. Во сколько раз надо уменьшить радиус шара, чтобы его объём уменьшился в 7 раз?

Объём шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – это радиус шара.

Пусть $R_1$ и $V_1$ – это начальные радиус и объём шара, а $R_2$ и $V_2$ – конечные радиус и объём.

Тогда $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$ и $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$.

По условию задачи, объём уменьшился в 7 раз, то есть: $V_2 = \frac{V_1}{7}$

Подставим в это соотношение формулы для объёмов: $\frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{7}$

Сократим одинаковый множитель $\frac{4}{3}\pi$ в обеих частях равенства: $R_2^3 = \frac{R_1^3}{7}$

Нам нужно найти, во сколько раз надо уменьшить радиус, то есть найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$. Выразим это отношение из полученного уравнения: $7 = \frac{R_1^3}{R_2^3}$ $7 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{R_1}{R_2}$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{7}$

Таким образом, радиус шара необходимо уменьшить в $\sqrt[3]{7}$ раз.

Ответ: в $\sqrt[3]{7}$ раз.

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара вдвое большего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара вдвое большего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

Масса тела ($m$) прямо пропорциональна его объему ($V$) и плотности материала ($\rho$). Эта зависимость выражается формулой: $m = \rho \cdot V$.

Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же бетона, их плотность ($\rho$) одинакова. Следовательно, масса шара зависит только от его объема.

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Обозначим радиус, объем и массу первого шара как $R_1$, $V_1$ и $m_1$ соответственно. Нам дано, что $m_1 = 0,8$ т.

$m_1 = \rho \cdot V_1 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Радиус второго шара ($R_2$) вдвое больше радиуса первого, то есть $R_2 = 2R_1$.

Найдем объем второго шара ($V_2$):

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (8R_1^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R_1^3)$

Как мы видим, $V_2 = 8 \cdot V_1$. Это означает, что при увеличении радиуса в 2 раза, объем шара увеличивается в $2^3 = 8$ раз.

Теперь найдем массу второго шара ($m_2$):

$m_2 = \rho \cdot V_2 = \rho \cdot (8V_1) = 8 \cdot (\rho \cdot V_1)$

Так как $\rho \cdot V_1 = m_1$, то:

$m_2 = 8 \cdot m_1$

Подставим известное значение массы первого шара:

$m_2 = 8 \cdot 0,8 = 6,4$ т.

Ответ: 6,4 т.

322. Два шара, радиусы которых 5 см и 7 см, имеют общий центр. Найдите объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.

322. Два шара, радиусы которых 5 см и 7 см, имеют общий центр. Найдите объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.

Объём тела, которое содержится между поверхностями двух шаров с общим центром (такое тело называют шаровым слоем), можно найти как разность объёмов большего и меньшего шаров.

Формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара.

Пусть $R$ — радиус большего шара, а $r$ — радиус меньшего шара. Согласно условию задачи:$R = 7$ см$r = 5$ см

Искомый объём $V$ равен разности объёма большего шара ($V_R$) и объёма меньшего шара ($V_r$):$V = V_R - V_r = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$.

Подставим значения радиусов в формулу:$V = \frac{4}{3}\pi (7^3 - 5^3)$.

Вычислим значения кубов радиусов:$7^3 = 343$.$5^3 = 125$.

Теперь подставим эти значения в формулу объёма:$V = \frac{4}{3}\pi (343 - 125) = \frac{4}{3}\pi \cdot 218$.

Выполним умножение:$V = \frac{4 \cdot 218}{3}\pi = \frac{872}{3}\pi$.

Таким образом, объём тела составляет $\frac{872}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{872}{3}\pi$ см³.

323. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение.

Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и поверхности шара, если объём шара равен

$\frac{500}{3}\pi$ см$^3$.

323. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение. Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и поверхности шара, если объём шара равен $ \frac{500}{3} \pi $ см$^3$.

Линия пересечения плоскости и поверхности шара является окружностью. Чтобы найти длину этой линии (длину окружности), необходимо сначала найти её радиус $r$. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Шаг 1: Нахождение радиуса шара (R)
Объём шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
По условию задачи, объём шара равен $V = \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3$.
Приравняем оба выражения для объёма, чтобы найти $R$:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{500}{3}\pi$
Сократим обе части уравнения на $\frac{\pi}{3}$:
$4R^3 = 500$
$R^3 = \frac{500}{4}$
$R^3 = 125$
$R = \sqrt[3]{125} = 5 \text{ см}$.

Шаг 2: Нахождение радиуса окружности сечения (r)
Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус окружности сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $d$ (по условию $d=3$ см) и радиус сечения $r$.
По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
Подставим известные значения:
$5^2 = 3^2 + r^2$
$25 = 9 + r^2$
$r^2 = 25 - 9$
$r^2 = 16$
$r = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Шаг 3: Нахождение длины линии пересечения
Теперь мы можем вычислить длину окружности сечения по формуле $C = 2\pi r$:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \text{ см}$.

Ответ: $8\pi \text{ см}$.

324. Объём правильной шестиугольной призмы равен $V$.
Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной шестиугольной призмы равен $V$.

Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

Пусть $V$ – объём правильной шестиугольной призмы, а $V_{ш}$ – объём вписанного в неё шара. Обозначим радиус вписанного шара как $R$, высоту призмы как $H$, а сторону правильного шестиугольника в основании – как $a$.

Так как шар вписан в призму, он касается её верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней. Из условия касания верхнего и нижнего оснований следует, что высота призмы равна диаметру шара:$H = 2R$.

Из условия касания боковых граней следует, что окружность большого круга шара (в сечении, параллельном основаниям) вписана в шестиугольник, лежащий в основании призмы. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника и вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, радиус шара равен радиусу вписанной в основание окружности:$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Отсюда можно выразить сторону шестиугольника через радиус шара:$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (правильного шестиугольника) равна $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим выражение для $a$ через $R$:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$.

Теперь найдём объём призмы, подставив выражения для $S_{осн}$ и $H$ через $R$:$V = S_{осн} \cdot H = (2\sqrt{3}R^2) \cdot (2R) = 4\sqrt{3}R^3$.

Объём шара находится по формуле $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Нам нужно выразить $V_{ш}$ через $V$. Из формулы для объёма призмы выразим $R^3$:$R^3 = \frac{V}{4\sqrt{3}}$.

Подставим полученное выражение для $R^3$ в формулу объёма шара:$V_{ш} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{V}{4\sqrt{3}}\right) = \frac{4\pi V}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$V_{ш} = \frac{\pi V \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}V}{3 \cdot 3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $2\sqrt{3}$ см и 2 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $2\sqrt{3}$ см и 2 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 2$ см и $BC = 2\sqrt{3}$ см.
1. Найдем гипотенузу $AB$, которая является большей стороной основания, по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$ см.
2. Боковая грань, содержащая большую сторону основания $AB$, является прямоугольником $ABB_1A_1$. Пусть $H = AA_1$ - высота призмы. Диагональ этой грани, например $A_1B$, образует с плоскостью основания угол $\angle A_1BA$. Проекцией наклонной $A_1B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Треугольник $A_1AB$ — прямоугольный, так как призма прямая ($AA_1 \perp AB$).
3. В прямоугольном треугольнике $A_1AB$ катет $AA_1 = H$, катет $AB = 4$ см, гипотенуза $A_1B$. Угол между диагональю и плоскостью основания — это $\angle A_1BA$. Синус этого угла равен:
$\sin(\angle A_1BA) = \frac{AA_1}{A_1B} = \frac{H}{A_1B}$.
По условию, $\sin(\angle A_1BA) = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Из основного тригонометрического тождества найдем косинус этого угла:
$\cos(\angle A_1BA) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle A_1BA)} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
С другой стороны, в том же треугольнике $A_1AB$:
$\cos(\angle A_1BA) = \frac{AB}{A_1B}$.
Подставим известные значения:
$\frac{2}{3} = \frac{4}{A_1B} \implies A_1B = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.
Теперь найдем высоту призмы $H$ из теоремы Пифагора для треугольника $A_1AB$:
$H = AA_1 = \sqrt{(A_1B)^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
4. Радиус $R$ сферы, описанной около прямой призмы, находится по формуле $R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$, где $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания.
Так как основание — прямоугольный треугольник, радиус описанной около него окружности равен половине гипотенузы:
$R_{осн} = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Теперь найдем радиус описанной сферы:
$R^2 = 2^2 + (\frac{2\sqrt{5}}{2})^2 = 4 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.
$R = \sqrt{9} = 3$ см.
5. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4 \cdot 9 \pi = 36\pi$ см³.
Ответ: $36\pi$ см³.