Номер 317, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $b$ от него (рис. 10). Найдите объём тела вращения.

Рис. 10

317. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $b$ от него (рис. 10). Найдите объём тела вращения.

Рис. 10

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объём тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры на длину окружности, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры. Формула имеет вид: $V = S \cdot 2\pi R$, где $S$ — площадь фигуры, а $R$ — расстояние от центра масс фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь равнобедренного треугольника (S)

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle A = \angle C = \alpha$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Высоту $h = BH$ можно найти через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{BH}{HC} = \frac{h}{a/2}$

Отсюда высота треугольника:

$h = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$

Теперь найдем площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$

2. Найдем расстояние от центра масс треугольника до оси вращения (R)

Центр масс (центроид) треугольника находится на пересечении его медиан. Он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, центр масс расположен на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания $AC$.

Расстояние от центра масс до основания $AC$ равно:

$h_c = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha) = \frac{a}{6} \tan(\alpha)$

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $b$ от него. Поскольку ось вращения и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания $AC$ (как показано на рисунке), расстояние $R$ от центра масс до оси вращения будет суммой расстояния от центра масс до основания ($h_c$) и расстояния от основания до оси ($b$).

$R = h_c + b = \frac{a}{6} \tan(\alpha) + b$

3. Вычислим объем тела вращения (V)

Теперь подставим найденные значения площади $S$ и расстояния $R$ в формулу объема тела вращения:

$V = S \cdot 2\pi R = \left(\frac{a^2}{4} \tan(\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$

Упростим выражение:

$V = \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha) \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$

Этот результат можно также записать, раскрыв скобки:

$V = \frac{\pi a^2 b}{2} \tan(\alpha) + \frac{\pi a^3}{12} \tan^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha) \left(b + \frac{a}{6} \tan(\alpha)\right)$