Страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть дана исходная правильная четырёхугольная пирамида. По условию, её высота $H = 3$ см. Плоскость, параллельная основанию, отсекает усечённую пирамиду. Это означает, что большее основание усечённой пирамиды является основанием исходной пирамиды, а меньшее основание — сечением.

Обозначим сторону большего основания (основания исходной пирамиды) как $a_1 = 6$ см, а сторону меньшего основания как $a_2 = 4$ см.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$V_{усеч} = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$,где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Для использования этой формулы нам необходимо найти высоту усечённой пирамиды $h$.

Отсекающая плоскость делит исходную пирамиду на две части: усечённую пирамиду и меньшую пирамиду наверху, которая подобна исходной. Найдём высоту этой меньшей пирамиды.Коэффициент подобия $k$ двух пирамид равен отношению длин соответствующих сторон их оснований:$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{мал}$ — высота меньшей (отсечённой) пирамиды, а $H = 3$ см — высота исходной (большой) пирамиды.$\frac{H_{мал}}{H} = k$$H_{мал} = H \cdot k = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высоты исходной пирамиды и высоты меньшей пирамиды:$h = H - H_{мал} = 3 - 2 = 1$ см.

Теперь найдём площади оснований. Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основания являются квадратами.Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

Подставим все найденные значения в формулу для объёма усечённой пирамиды:$V_{усеч} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (36 + \sqrt{36 \cdot 16} + 16)$.$V_{усеч} = \frac{1}{3} (52 + \sqrt{576})$.Так как $\sqrt{576} = 24$, получаем:$V_{усеч} = \frac{1}{3} (52 + 24) = \frac{1}{3} \cdot 76 = \frac{76}{3}$ см$^3$.

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $25\frac{1}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{76}{3}$ см$^3$.

280. Основания усечённой пирамиды — треугольники со сторонами 13 см, 14 см, 15 см и 26 см, 28 см, 30 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — треугольники со сторонами 13 см, 14 см, 15 см и 26 см, 28 см, 30 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основания являются треугольниками. Для нахождения их площадей воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Для меньшего основания со сторонами $a_1=13$ см, $b_1=14$ см, $c_1=15$ см:Полупериметр: $p_1 = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.Площадь: $S_1 = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

Для большего основания со сторонами $a_2=26$ см, $b_2=28$ см, $c_2=30$ см:Заметим, что стороны большего основания в 2 раза больше сторон меньшего основания ($26=2 \cdot 13$, $28=2 \cdot 14$, $30=2 \cdot 15$). Следовательно, основания являются подобными треугольниками с коэффициентом подобия $k=2$.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:$S_2 = k^2 \cdot S_1 = 2^2 \cdot 84 = 4 \cdot 84 = 336$ см$^2$.

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Это означает, что если достроить усечённую пирамиду до полной, то её вершина будет проецироваться в центр описанной окружности основания.Высоту усеченной пирамиды $H$ можно найти через радиусы описанных окружностей оснований ($R_1$ и $R_2$). Рассмотрим осевое сечение, проходящее через боковое ребро и центры описанных окружностей. В получившейся прямоугольной трапеции катет, равный высоте $H$, противолежит углу $60^\circ$ в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является боковое ребро, а вторым катетом — разность радиусов $R_2 - R_1$.Таким образом, $H = (R_2 - R_1) \cdot \tan(60^\circ)$.

Найдём радиусы описанных окружностей по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:Для меньшего основания:$R_1 = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ см.

Для большего основания, так как оно подобно меньшему с коэффициентом $k=2$:$R_2 = k \cdot R_1 = 2 \cdot \frac{65}{8} = \frac{65}{4}$ см.

Теперь найдём высоту $H$:$H = (\frac{65}{4} - \frac{65}{8}) \cdot \sqrt{3} = (\frac{130-65}{8}) \cdot \sqrt{3} = \frac{65\sqrt{3}}{8}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{65\sqrt{3}}{8} \cdot (84 + 336 + \sqrt{84 \cdot 336})$$\sqrt{84 \cdot 336} = \sqrt{84 \cdot (4 \cdot 84)} = \sqrt{84^2 \cdot 4} = 84 \cdot 2 = 168$.$V = \frac{65\sqrt{3}}{24} \cdot (84 + 336 + 168) = \frac{65\sqrt{3}}{24} \cdot 588$.Сократим дробь: $588$ и $24$ делятся на $12$ ($588 / 12 = 49$, $24 / 12 = 2$).$V = \frac{65\sqrt{3}}{2} \cdot 49 = \frac{3185\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $ \frac{3185\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

281. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота — 6 см. Найдите объём цилиндра.

281. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота — 6 см. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле произведения площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($H$): $V = S_{осн} \cdot H$.

Основание цилиндра — это круг, площадь которого находится по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.

Таким образом, формула для нахождения объёма цилиндра имеет вид: $V = \pi R^2 H$.

По условию задачи даны:

Радиус основания $R = 4$ см.

Высота $H = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу и вычислим объём:

$V = \pi \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 96\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $96\pi \text{ см}^3$.

282. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём цилиндра.

282. Радиус основания цилиндра равен $3 \text{ см}$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$,

где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известно, что радиус основания $R = 3$ см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольника, его сторона $D$ (которая лежит в плоскости основания) и сторона $H$ (которая перпендикулярна плоскости основания) образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания, которой является диаметр $D$. По условию, этот угол равен $60°$.

Найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ (катет), диаметром $D$ (катет) и диагональю осевого сечения (гипотенуза). В этом треугольнике мы можем найти высоту $H$ через тангенс угла $60°$:

$\tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{D}$

Отсюда выражаем и вычисляем высоту $H$:

$H = D \cdot \tan(60°) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (3)^2 \cdot (6\sqrt{3}) = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см³.

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 108 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 108 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого?

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде ($V$) находится как произведение площади основания ($S_{осн}$) на высоту уровня жидкости ($h$): $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания, которое является кругом, вычисляется через диаметр ($d$) по формуле $S_{осн} = \frac{\pi d^2}{4}$. Таким образом, объем жидкости в цилиндре можно выразить как $V = \frac{\pi d^2}{4} \cdot h$.

Пусть $h_1$ и $d_1$ — высота жидкости и диаметр первого сосуда, а $h_2$ и $d_2$ — соответствующие величины для второго сосуда. По условию, $h_1 = 108$ см, а $d_2 = 6d_1$. Поскольку объем жидкости при переливании не меняется, мы можем приравнять объемы в первом и втором сосудах ($V_1 = V_2$):

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Подставим в это равенство известное соотношение диаметров $d_2 = 6d_1$:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi (6d_1)^2}{4} \cdot h_2$

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi \cdot 36d_1^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi d_1^2}{4}$ (так как диаметр не равен нулю):

$h_1 = 36 \cdot h_2$

Теперь найдем искомую высоту $h_2$, подставив значение $h_1 = 108$ см:

$h_2 = \frac{h_1}{36} = \frac{108}{36} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

284. Радиус основания первого цилиндра в 4 раза больше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза меньше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

284. Радиус основания первого цилиндра в 4 раза больше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза меньше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Обозначим радиус основания и высоту первого цилиндра как $R_1$ и $h_1$, а радиус основания и высоту второго цилиндра — как $R_2$ и $h_2$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота.

Таким образом, объёмы наших цилиндров равны:
$V_1 = \pi R_1^2 h_1$
$V_2 = \pi R_2^2 h_2$

Из условия задачи нам известны следующие соотношения:
1. Радиус основания первого цилиндра в 4 раза больше радиуса основания второго: $R_1 = 4R_2$.
2. Высота первого цилиндра в 4 раза меньше высоты второго: $h_1 = \frac{h_2}{4}$.

Чтобы найти отношение объёмов, разделим объём первого цилиндра на объём второго:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 h_1}{\pi R_2^2 h_2}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для $R_1$ и $h_1$ через $R_2$ и $h_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi (4R_2)^2 \cdot (\frac{h_2}{4})}{\pi R_2^2 h_2} = \frac{\pi \cdot 16R_2^2 \cdot \frac{h_2}{4}}{\pi R_2^2 h_2}$

Упростим полученное выражение, выполнив вычисления в числителе и сократив одинаковые множители:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi R_2^2 h_2}{\pi R_2^2 h_2} = \frac{4 \cdot \pi R_2^2 h_2}{\pi R_2^2 h_2} = 4$

Следовательно, отношение объёма первого цилиндра к объёму второго равно 4.

Ответ: 4

285. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого равна $S$. Найдите объём цилиндра.

285. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого равна $S$. Найдите объём цилиндра.

По условию задачи, осевое сечение цилиндра является квадратом. Осевое сечение — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра ($h$) и диаметру его основания ($d$).

Так как сечение является квадратом, его стороны равны: $h = d$.

Площадь этого квадрата равна $S$. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно: $S = h^2 = d^2$.

Из этого равенства можно выразить высоту и диаметр цилиндра через $S$: $h = \sqrt{S}$ $d = \sqrt{S}$

Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{S}}{2}$.

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

Подставим выражения для $r$ и $h$ через $S$ в формулу объёма: $V = \pi \left(\frac{\sqrt{S}}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{S}$.

Теперь упростим полученное выражение: $V = \pi \cdot \frac{(\sqrt{S})^2}{2^2} \cdot \sqrt{S} = \pi \cdot \frac{S}{4} \cdot \sqrt{S} = \frac{\pi S \sqrt{S}}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi S \sqrt{S}}{4}$

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 2 см, а диагональ — $2\sqrt{5}$ см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объём тела вращения.

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 2 см, а диагональ – $2\sqrt{5}$ см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объём тела вращения.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое является цилиндром. Осью вращения (и высотой цилиндра $h$) является та сторона, вокруг которой происходит вращение. Другая сторона прямоугольника является радиусом основания цилиндра $r$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, одна из сторон равна 2 см, а диагональ $d$ равна $2\sqrt{5}$ см. Допустим, $a = 2$ см.

Найдем вторую сторону $b$ по теореме Пифагора, так как стороны и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник: $a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения: $2^2 + b^2 = (2\sqrt{5})^2$ $4 + b^2 = 4 \cdot 5$ $4 + b^2 = 20$ $b^2 = 20 - 4$ $b^2 = 16$ $b = \sqrt{16} = 4$ см.

Мы нашли стороны прямоугольника: 2 см и 4 см. По условию, вращение происходит вокруг большей стороны. Следовательно, высота цилиндра $h$ равна большей стороне, а радиус основания $r$ — меньшей. $h = 4$ см $r = 2$ см

Теперь найдем объем цилиндра по формуле: $V = \pi r^2 h$

Подставим наши значения $r$ и $h$: $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$ см³

Ответ: $16\pi$ см³

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$, и удалённое от оси цилиндра на 3 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 12 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 120°, и удалённое от оси цилиндра на 3 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 12 см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти эти два параметра.

Нахождение радиуса основания R
Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, в основании отсекает хорду. Рассмотрим окружность основания. Пусть O — её центр, а AB — хорда, отсекаемая сечением. По условию, градусная мера дуги AB равна $120^{\circ}$, следовательно, центральный угол $\angle AOB$ также равен $120^{\circ}$.
Треугольник AOB является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Расстояние от оси цилиндра до сечения — это перпендикуляр OM, проведённый из центра O к хорде AB. По условию, $OM = 3$ см.
В равнобедренном треугольнике AOB высота OM является также биссектрисой, поэтому она делит угол AOB пополам: $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (где $\angle OMA = 90^{\circ}$). В нём гипотенуза $OA = R$, катет $OM = 3$ см, а угол $\angle AOM = 60^{\circ}$. Используя определение косинуса, найдём радиус R:
$\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{3}{R}$
Так как $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{R} \implies R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Нахождение высоты цилиндра H
Сечение представляет собой прямоугольник. Одна его сторона — это хорда AB, а другая — высота цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 12 см.
Сначала найдём длину хорды AB. Из того же прямоугольного треугольника OMA найдём катет AM, который равен половине хорды AB:
$AM = OM \cdot \tan(\angle AOM) = 3 \cdot \tan(60^{\circ}) = 3\sqrt{3}$ см.
Длина всей хорды: $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольнику сечения, где стороны равны $AB = 6\sqrt{3}$ см и $H$, а диагональ $d = 12$ см:
$d^2 = AB^2 + H^2$
$12^2 = (6\sqrt{3})^2 + H^2$
$144 = 36 \cdot 3 + H^2$
$144 = 108 + H^2$
$H^2 = 144 - 108 = 36$
$H = \sqrt{36} = 6$ см.

Вычисление объёма цилиндра
Теперь, когда известны радиус основания $R = 6$ см и высота $H = 6$ см, мы можем вычислить объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 216\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $216\pi \text{ см}^3$.