Страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани равна 17 см, а площадь боковой поверхности — 480 $см^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани равна 17 см, а площадь боковой поверхности — 480 $ \text{см}^2 $. Найдите объём призмы.

Поскольку призма правильная четырёхугольная, её основание — квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники. Обозначим сторону основания призмы как $a$, а высоту (боковое ребро) как $h$.

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 17 см. По теореме Пифагора для боковой грани имеем:

$a^2 + h^2 = 17^2$

$a^2 + h^2 = 289$

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх одинаковых боковых граней. Площадь одной боковой грани равна $a \cdot h$. Следовательно:

$S_{бок} = 4ah$

По условию $S_{бок} = 480 \text{ см}^2$, значит:

$4ah = 480$

$ah = \frac{480}{4}$

$ah = 120$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h$:

$\begin{cases}a^2 + h^2 = 289 \\ah = 120\end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $h$ через $a$: $h = \frac{120}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$a^2 + (\frac{120}{a})^2 = 289$

$a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a > 0$, то $a^2 \neq 0$):

$a^4 + 14400 = 289a^2$

$a^4 - 289a^2 + 14400 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = a^2$. Тогда уравнение примет вид:

$x^2 - 289x + 14400 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921$

$\sqrt{D} = \sqrt{25921} = 161$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225$

$x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Вернёмся к замене $x = a^2$. Мы получили два возможных значения для квадрата стороны основания:

1. $a^2 = 225 \implies a = 15$ см.

2. $a^2 = 64 \implies a = 8$ см.

Для каждого значения $a$ найдём соответствующую высоту $h$ из уравнения $h = \frac{120}{a}$:

1. Если $a = 15$ см, то $h = \frac{120}{15} = 8$ см.

2. Если $a = 8$ см, то $h = \frac{120}{8} = 15$ см.

Таким образом, существуют два варианта призмы, удовлетворяющих условиям задачи. Найдём объём для каждого из них. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Случай 1: Сторона основания $a = 15$ см, высота $h = 8$ см.

Объём призмы: $V_1 = a^2h = 15^2 \cdot 8 = 225 \cdot 8 = 1800 \text{ см}^3$.

Случай 2: Сторона основания $a = 8$ см, высота $h = 15$ см.

Объём призмы: $V_2 = a^2h = 8^2 \cdot 15 = 64 \cdot 15 = 960 \text{ см}^3$.

Оба найденных значения являются решением, так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какая из сторон боковой грани (сторона основания или высота призмы) является большей.

Ответ: $1800 \text{ см}^3$ или $960 \text{ см}^3$.

245. Объем правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объем призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

245. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

Пусть данная правильная треугольная призма имеет высоту $h$ и сторону основания $a$. Основанием такой призмы является равносторонний треугольник.

Объём $V$ данной призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ — площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Следовательно, объём исходной призмы можно выразить как:$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h$

Новая призма, согласно условию, имеет в качестве вершин середины сторон оснований данной призмы. Это означает, что её основаниями являются треугольники, вершины которых — это середины сторон оснований исходной призмы. Высота новой призмы совпадает с высотой исходной призмы и равна $h$.

Рассмотрим основание новой призмы. Оно представляет собой треугольник, образованный соединением середин сторон исходного треугольника-основания. Стороны этого нового треугольника являются средними линиями исходного треугольника.

По свойству средней линии, она параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине. Таким образом, новый треугольник в основании подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S'_{осн}$ — это площадь основания новой призмы. Тогда:$\frac{S'_{осн}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда, площадь основания новой призмы составляет четверть от площади основания исходной призмы:$S'_{осн} = \frac{1}{4}S_{осн}$

Теперь найдём объём новой призмы $V'$:$V' = S'_{осн} \cdot h = (\frac{1}{4}S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Так как объём исходной призмы $V = S_{осн} \cdot h$, то объём новой призмы равен:$V' = \frac{1}{4}V$

Ответ: $\frac{V}{4}$

246. Основание прямой призмы — ромб с острым углом $\alpha$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём призмы, если её высота равна $H$.

246. Основание прямой призмы — ромб с острым углом $\alpha$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём призмы, если её высота равна $H$.

Пусть основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$. Высота призмы равна $H$, то есть $AA_1 = H$.

В ромбе меньшая диагональ лежит против острого угла. Следовательно, меньшая диагональ основания — это $BD$. Сечение проходит через диагональ $BD$ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания, например, $A_1$. Таким образом, сечение представляет собой равнобедренный треугольник $\triangle BDA_1$.

Угол между плоскостью сечения $(BDA_1)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $\gamma$. Найдем этот угол. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, а значит, $AO \perp BD$.

Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. Линия $AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. Поскольку проекция $AO$ перпендикулярна прямой $BD$, лежащей в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.

Таким образом, $\angle A_1OA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle A_1OA = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. Катет $AA_1$ равен высоте призмы $H$. Используя определение котангенса, найдем длину катета $AO$:$$ \text{ctg}(\gamma) = \frac{AO}{AA_1} = \frac{AO}{H} $$Отсюда получаем, что $AO = H \cdot \text{ctg}(\gamma)$.

Так как $AO$ — это половина большей диагонали ромба $AC$, то $AC = 2 \cdot AO = 2H \cdot \text{ctg}(\gamma)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$, который является частью основания. Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника найдем длину $BO$:$$ \text{tg}(\angle OAB) = \frac{BO}{AO} \implies \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{BO}{H \cdot \text{ctg}(\gamma)} $$Отсюда $BO = H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Так как $BO$ — это половина меньшей диагонали ромба $BD$, то $BD = 2 \cdot BO = 2H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Площадь основания призмы (площадь ромба) можно найти как половину произведения его диагоналей:$$ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \left(2H \cdot \text{ctg}(\gamma)\right) \cdot \left(2H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = 2H^2 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:$$ V = S_{осн} \cdot H = \left(2H^2 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H = 2H^3 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Ответ: $V = 2H^3 \text{ctg}^2(\gamma) \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 4 см, а угол между диагоналями основания, лежащий против этой стороны, — $60^\circ$. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 4 см, а угол между диагоналями основания, лежащий против этой стороны, — $60^\circ$. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо найти площадь его основания и высоту. Объём вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Нахождение площади основания
Основанием параллелепипеда является прямоугольник $ABCD$. Пусть сторона $AD = 4$ см. Диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Угол между диагоналями, лежащий против стороны $AD$, — это угол $AOD$. По условию, $\angle AOD = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $AO = OD$. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный.

Поскольку один из углов равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Таким образом, $AO = OD = AD = 4$ см.

Длина всей диагонали основания $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь найдём вторую сторону основания, $AB$, из прямоугольного треугольника $ABC$ (или $ABD$). По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$Так как $BC = AD = 4$ см, получаем:$8^2 = AB^2 + 4^2$$64 = AB^2 + 16$$AB^2 = 64 - 16 = 48$$AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = AB \cdot AD = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты параллелепипеда
Высота параллелепипеда $h = BB_1$.Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания $ABC$ угол $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является диагональ $AC$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии их пересечения в одной точке. Проведём в плоскости основания перпендикуляр $BH$ к линии $AC$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1$ является перпендикуляром, а $B_1H$ — наклонной к плоскости основания, и $BH$ — её проекцией. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $BH$ перпендикулярна $AC$, то и наклонная $B_1H$ перпендикулярна $AC$.

Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle B_1HB = 45^\circ$.

Найдём длину $BH$. $BH$ — это высота в прямоугольном треугольнике $ABC$, проведённая к гипотенузе $AC$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BH$$8\sqrt{3} = 4 \cdot BH$$BH = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp$ плоскости основания). Мы знаем, что $\angle B_1HB = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $B_1BH$ — равнобедренный, и его катеты равны:$h = BB_1 = BH = 2\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда
Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём:$V = S_{осн} \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 32 \cdot (\sqrt{3})^2 = 32 \cdot 3 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.

248. Основанием наклонной призмы является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 9 см, а острый угол — $30^\circ$. Боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно 6 см. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 9 см, а острый угол — $30^\circ$. Боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно 6 см. Найдите объём призмы.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы.

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 4$ см, $b = 9$ см и острым углом между ними $\alpha = 30^\circ$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения:
$S_{осн} = 4 \cdot 9 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого. Высота, боковое ребро $L$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания ($\beta = 45^\circ$) является одним из острых углов этого треугольника. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу, а боковое ребро $L$ — гипотенузой.
Таким образом, $H = L \cdot \sin(\beta)$.
По условию, длина бокового ребра $L = 6$ см, а угол $\beta = 45^\circ$.
Подставим эти значения:
$H = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Найдем объем призмы.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:
$V = S_{осн} \cdot H = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $54\sqrt{2}$ см³.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы $V$ используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

В условии дано, что высота призмы равна $h$, то есть $H=h$.Основанием является правильный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:$$ S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$Таким образом, задача сводится к нахождению стороны основания $a$.

Рассмотрим призму $ABCA_1B_1C_1$, где $\triangle ABC$ — нижнее основание. Пусть $O$ — центр нижнего основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). По условию, проекцией одной из вершин верхнего основания, например $A_1$, на плоскость нижнего основания является точка $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина является высотой призмы. То есть $A_1O = h$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA$. Так как $A_1O$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а отрезок $AO$ лежит в этой плоскости, то $\triangle A_1OA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1OA$. В этом треугольнике:

• $A_1O = h$ — катет, равный высоте призмы.
• $A_1A$ — гипотенуза, являющаяся боковым ребром призмы.
• $AO = R$ — катет, являющийся радиусом окружности, описанной около основания $\triangle ABC$.

По условию, боковое ребро $A_1A$ образует с высотой $A_1O$ угол $\beta$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ это угол $\angle OA_1A = \beta$.

Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ найдем катет $AO$:$$ \tan(\beta) = \frac{AO}{A_1O} $$$$ \tan(\beta) = \frac{R}{h} $$Отсюда выразим радиус $R$:$$ R = h \cdot \tan(\beta) $$

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, связан с этой стороной формулой:$$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

Приравняем два полученных выражения для $R$:$$ \frac{a}{\sqrt{3}} = h \cdot \tan(\beta) $$Теперь найдем сторону основания $a$:$$ a = h\sqrt{3}\tan(\beta) $$

Подставим найденное значение $a$ в формулу для площади основания:$$ S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(h\sqrt{3}\tan(\beta))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \cdot 3 \cdot \tan^2(\beta) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^2\tan^2(\beta) $$

Наконец, вычислим объём призмы:$$ V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}h^2\tan^2(\beta)\right) \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^3\tan^2(\beta) $$

Ответ:$V = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^3\tan^2(\beta)$.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 9 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 9 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{перп} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения, то есть сечения, проведенного перпендикулярно боковым ребрам.

Из условия задачи известны:

• Длина бокового ребра $L = 9$ см.
• Расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см.
• Расстояние между боковыми ребрами $BB_1$ и $CC_1$ равно 3 см.
• Двугранный угол при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим перпендикулярное сечение параллелепипеда. Это многоугольник, который образуется при пересечении параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его боковым ребрам. Пусть эта плоскость пересекает ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ в точках $S, Q, P, R$ соответственно. Полученный четырехугольник $SQPR$ и есть перпендикулярное сечение.

Поскольку боковые грани параллелепипеда попарно параллельны, то перпендикулярное сечение $SQPR$ является параллелограммом.

Двугранный угол при ребре $CC_1$ — это угол между гранями $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$. Его мерой является линейный угол, образованный пересечением этих граней с плоскостью перпендикулярного сечения. Этот угол — $\angle QPR$. Таким образом, $\angle QPR = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, перпендикулярное сечение $SQPR$ — это прямоугольник.

Теперь определим размеры этого прямоугольника.

Расстояние между параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка, перпендикулярного им обоим. Отрезок $QP$ лежит в перпендикулярной к ребрам плоскости и соединяет их, значит, его длина равна заданному расстоянию. Таким образом, сторона прямоугольника $|QP| = 3$ см.

Аналогично, расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — это длина отрезка $SP$, который лежит в перпендикулярной плоскости. Вершины $S$ и $P$ являются противоположными в прямоугольнике $SQPR$, следовательно, $SP$ — это его диагональ. Таким образом, диагональ прямоугольника $|SP| = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle R S P$ (угол $\angle SRP = 90^\circ$, так как $SQPR$ — прямоугольник). В этом треугольнике $SP$ — гипотенуза, а $SR$ и $RP$ — катеты. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $|SR| = |QP| = 3$ см.

По теореме Пифагора:

$|SP|^2 = |SR|^2 + |RP|^2$

$6^2 = 3^2 + |RP|^2$

$36 = 9 + |RP|^2$

$|RP|^2 = 36 - 9 = 27$

$|RP| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Мы нашли вторую сторону прямоугольника. Теперь можем вычислить его площадь:

$S_{перп} = |QP| \cdot |RP| = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, найдем объем параллелепипеда:

$V = S_{перп} \cdot L = 9\sqrt{3} \cdot 9 = 81\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $81\sqrt{3}$ см$^3$.

251. Все грани призмы — равные ромбы со стороной 8 см и углом $60^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Все грани призмы — равные ромбы со стороной 8 см и углом $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Поскольку все грани призмы — равные ромбы, данная фигура является ромбоэдром. Ромбоэдр — это частный случай параллелепипеда, поэтому его объём можно найти по формуле объёма параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.

Основание призмы — это ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(60°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Пусть основание ромбоэдра — это ромб $ABCD$ с острым углом $\angle DAB = 60°$, а боковое ребро — $AA'$. Все ребра ромбоэдра равны 8 см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AB = AD = 8$ см и угол между ними $\angle DAB = 60°$, этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны 8 см, в том числе и малая диагональ ромба $BD = 8$ см.

Так как все грани — равные ромбы, то боковые грани $ABB'A'$ и $ADD'A'$ также являются ромбами со стороной 8 см и углом 60°. Это означает, что треугольники $A'AB$ и $A'AD$ также являются равносторонними (поскольку $AA' = AB = 8$ и $\angle A'AB = 60°$, и аналогично для $A'AD$). Таким образом, $A'B = 8$ см и $A'D = 8$ см.

Рассмотрим пирамиду $A'ABD$. Мы установили, что все её рёбра равны 8 см ($A'A = A'B = A'D = AB = AD = BD = 8$), то есть эта пирамида — правильный тетраэдр.

Высота призмы $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A'$ на плоскость основания $ABCD$. Эта высота совпадает с высотой тетраэдра $A'ABD$, опущенной из вершины $A'$. Основание этой высоты (точка $O$) является центром равностороннего треугольника $ABD$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABD$ со стороной $a=8$ см, равен:

$R = AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $A'OA$. Гипотенуза $AA'$ — это ребро призмы ($AA' = 8$ см), катет $AO$ — это найденный радиус ($AO = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см), а второй катет $A'O$ — это искомая высота призмы $H$.

По теореме Пифагора:

$H^2 = (AA')^2 - (AO)^2$

$H^2 = 8^2 - \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = 64 - \frac{64}{3} = \frac{192 - 64}{3} = \frac{128}{3}$

$H = \sqrt{\frac{128}{3}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Вычислим объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём:

$V = S_{осн} \cdot H = 32\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{256 \sqrt{18}}{3}$

Упростим выражение, зная что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$V = \frac{256 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 256\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $256\sqrt{2}$ см³.