Номер 250, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 9 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 9 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{перп} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения, то есть сечения, проведенного перпендикулярно боковым ребрам.

Из условия задачи известны:

• Длина бокового ребра $L = 9$ см.
• Расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно 6 см.
• Расстояние между боковыми ребрами $BB_1$ и $CC_1$ равно 3 см.
• Двугранный угол при ребре $CC_1$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим перпендикулярное сечение параллелепипеда. Это многоугольник, который образуется при пересечении параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его боковым ребрам. Пусть эта плоскость пересекает ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ в точках $S, Q, P, R$ соответственно. Полученный четырехугольник $SQPR$ и есть перпендикулярное сечение.

Поскольку боковые грани параллелепипеда попарно параллельны, то перпендикулярное сечение $SQPR$ является параллелограммом.

Двугранный угол при ребре $CC_1$ — это угол между гранями $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$. Его мерой является линейный угол, образованный пересечением этих граней с плоскостью перпендикулярного сечения. Этот угол — $\angle QPR$. Таким образом, $\angle QPR = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, перпендикулярное сечение $SQPR$ — это прямоугольник.

Теперь определим размеры этого прямоугольника.

Расстояние между параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка, перпендикулярного им обоим. Отрезок $QP$ лежит в перпендикулярной к ребрам плоскости и соединяет их, значит, его длина равна заданному расстоянию. Таким образом, сторона прямоугольника $|QP| = 3$ см.

Аналогично, расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — это длина отрезка $SP$, который лежит в перпендикулярной плоскости. Вершины $S$ и $P$ являются противоположными в прямоугольнике $SQPR$, следовательно, $SP$ — это его диагональ. Таким образом, диагональ прямоугольника $|SP| = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle R S P$ (угол $\angle SRP = 90^\circ$, так как $SQPR$ — прямоугольник). В этом треугольнике $SP$ — гипотенуза, а $SR$ и $RP$ — катеты. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $|SR| = |QP| = 3$ см.

По теореме Пифагора:

$|SP|^2 = |SR|^2 + |RP|^2$

$6^2 = 3^2 + |RP|^2$

$36 = 9 + |RP|^2$

$|RP|^2 = 36 - 9 = 27$

$|RP| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Мы нашли вторую сторону прямоугольника. Теперь можем вычислить его площадь:

$S_{перп} = |QP| \cdot |RP| = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, найдем объем параллелепипеда:

$V = S_{перп} \cdot L = 9\sqrt{3} \cdot 9 = 81\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $81\sqrt{3}$ см$^3$.