Номер 243, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания этой трапеции равны 4 см и 16 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём призмы.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания этой трапеции равны 4 см и 16 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Найдем площадь основания призмы.

Основанием является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Пусть основания трапеции равны $a = 16$ см и $b = 4$ см, а боковая сторона — $c$. Согласно свойству описанного четырехугольника, сумма длин противоположных сторон равна. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна удвоенной боковой стороне:

$a + b = 2c$

$16 + 4 = 2c \Rightarrow 20 = 2c \Rightarrow c = 10$ см.

Чтобы найти высоту трапеции $h$, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 10$ см и катетом, равным полуразности оснований: $\frac{a-b}{2} = \frac{16-4}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции (основания призмы):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+4}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Найдем высоту призмы.

Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Эта диагональ, высота призмы $H$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. В нем высота призмы является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а диагональ основания — прилежащим катетом. Следовательно, $H = d \cdot \tan(60^\circ)$.

Сначала найдем диагональ основания $d$. Ее можно найти из другого прямоугольного треугольника в плоскости основания, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный $a - \frac{a-b}{2} = 16 - 6 = 10$ см.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + 10^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164$.

$d = \sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$ см.

Теперь находим высоту призмы $H$:

$H = d \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{41} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{123}$ см.

Найдем объем призмы.

Зная площадь основания и высоту призмы, вычисляем объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 80 \cdot 2\sqrt{123} = 160\sqrt{123}$ см³.

Ответ: $160\sqrt{123}$ см³.