Номер 238, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $30^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём призмы, если её высота равна 9 см.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $30^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём призмы, если её высота равна 9 см.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании призмы лежит ромб с углом $\alpha = 30^{\circ}$. Площадь ромба можно найти по формуле $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба.

Поскольку призма прямая, её боковые грани — прямоугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра. По условию $h = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани, стороной основания (которая является проекцией этой диагонали на плоскость основания) и боковым ребром призмы (высотой). Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания по условию равен $60^{\circ}$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $60^{\circ}$, а сторона ромба $a$ — прилежащим катетом.

Используя тангенс этого угла, мы можем найти сторону ромба $a$:

$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем $a$:

$a = \frac{h}{\tan(60^{\circ})} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная сторону ромба, вычислим площадь основания:

$S_{осн} = a^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = (3\sqrt{3})^2 \cdot \frac{1}{2} = (9 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2} = 27 \cdot \frac{1}{2} = 13,5$ см².

Наконец, найдем объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 13,5 \cdot 9 = 121,5$ см³.

Ответ: $121,5$ см³.