Номер 232, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если диаметр его меньшего основания виден из центра шара под углом $\alpha$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если диаметр его меньшего основания виден из центра шара под углом $\alpha$.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность. Эта окружность является большим кругом вписанного шара, поэтому ее радиус равен $R$. Высота трапеции, в свою очередь, равна диаметру вписанной окружности, то есть высота усеченного конуса $h = 2R$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно. Тогда основания трапеции осевого сечения равны $2r_1$ и $2r_2$. Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} \cdot h = (r_1 + r_2) \cdot 2R$

По условию, диаметр меньшего основания виден из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, вершинами которого являются центр шара $O$ и концы диаметра меньшего основания. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $O$, равна расстоянию от центра шара до плоскости меньшего основания, то есть радиусу шара $R$. Эта высота также является биссектрисой угла $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой ($R$), половиной диаметра меньшего основания (радиусом $r_2$) и отрезком, соединяющим центр шара с концом диаметра. В этом треугольнике катет $r_2$ противолежит углу $\frac{\alpha}{2}$, а другой катет равен $R$. Следовательно:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r_2}{R}$

Отсюда выразим радиус меньшего основания:

$r_2 = R \tan(\frac{\alpha}{2})$

Для усеченного конуса, в который вписан шар, справедливо свойство: произведение радиусов его оснований равно квадрату радиуса вписанного шара. Это свойство следует из того, что в осевое сечение (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность. Сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон. Если $l$ - образующая конуса (боковая сторона трапеции), то $2r_1 + 2r_2 = 2l$, или $l = r_1 + r_2$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$, катетами $h=2R$ и $(r_1 - r_2)$ по теореме Пифагора имеем $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$. Подставив выражения для $l$ и $h$, получим $(r_1+r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1-r_2)^2$, что после упрощения дает $4r_1r_2 = 4R^2$. Таким образом:

$r_1 \cdot r_2 = R^2$

Теперь найдем радиус большего основания $r_1$:

$r_1 = \frac{R^2}{r_2} = \frac{R^2}{R \tan(\frac{\alpha}{2})} = R \frac{1}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = R \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденные выражения для $r_1$ и $r_2$ в формулу для площади осевого сечения:

$S = (r_1 + r_2) \cdot 2R = (R \cot(\frac{\alpha}{2}) + R \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot 2R = 2R^2 (\cot(\frac{\alpha}{2}) + \tan(\frac{\alpha}{2}))$

Упростим тригонометрическое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$\cot(\frac{\alpha}{2}) + \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, получаем:

$\frac{1}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})} = \frac{2}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем окончательное выражение для площади:

$S = 2R^2 \cdot \frac{2}{\sin(\alpha)} = \frac{4R^2}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(\alpha)}$