Номер 228, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Вписанный в конус шар в этом сечении будет выглядеть как вписанная в треугольник окружность.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$. Угол при вершине $\angle BAC = \alpha$. $AH$ — высота, медиана и биссектриса, проведенная к основанию $BC$. Тогда $H$ — центр основания конуса, $AH$ — высота конуса (обозначим её $H_{cone}$), а $HC$ — радиус основания конуса (обозначим его $R$). Площадь осевого сечения $S$ равна площади треугольника $ABC$.

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H_{cone} = R \cdot H_{cone}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $AH$ — биссектриса, то $\angle HAC = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника имеем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{HC}{AH} = \frac{R}{H_{cone}}$Отсюда, $H_{cone} = \frac{R}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = R \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем связь между $R$ и радиусом вписанного шара $r$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AH$. Радиус этой окружности, проведенный в точку касания с основанием $BC$, есть отрезок $OH$, и его длина равна $r$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Проведем биссектрису $CO$ угла $ACH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $CO$ — биссектриса угла $ACH$, то $\angle OCH = \frac{1}{2}\angle ACH = \frac{1}{2}(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Катеты этого треугольника — $OH = r$ и $HC = R$. Мы можем записать:$\tan(\angle OCH) = \frac{OH}{HC} = \frac{r}{R}$

Выразим $R$ из этого соотношения:$R = \frac{r}{\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})} = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Теперь, зная $R$, мы можем найти высоту конуса $H_{cone}$:$H_{cone} = R \cot(\frac{\alpha}{2}) = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, вычислим площадь осевого сечения $S$:$S = R \cdot H_{cone} = \left( r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \right) \cdot \left( r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2}) \right)$

$S = r^2 \cot^2(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $S = r^2 \cot(\frac{\alpha}{2}) \cot^2(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.