Номер 221, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4,5 см и 10,5 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4,5 см и 10,5 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Сфера, описанная около усечённого конуса, является также сферой, описанной около его осевого сечения. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около этой трапеции.

По условию, радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 4,5$ см и $r_2 = 10,5$ см. Следовательно, основания равнобокой трапеции, являющейся осевым сечением, равны диаметрам оснований конуса:

• Меньшее основание трапеции: $b_1 = 2r_1 = 2 \cdot 4,5 = 9$ см.
• Большее основание трапеции: $b_2 = 2r_2 = 2 \cdot 10,5 = 21$ см.

Диагональ осевого сечения (трапеции) равна $d = 17$ см.

Для дальнейших расчетов найдем высоту трапеции $h$. Пусть осевое сечение — это трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=21$ и $BC=9$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{21 + 9}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором гипотенуза $AC=17$ см (диагональ) и катет $AH=15$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $CH$, который является высотой трапеции $h$:

$h^2 = CH^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ см$^2$.

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем сторону $AD = 21$ см, сторону $AC = 17$ см. Найдем сторону $CD$, которая является образующей конуса (и боковой стороной трапеции).

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Катет $CH = h = 8$ см. Длина катета $HD$ равна:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ см$^2$.

$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника $ACD$: $a=AC=17$ см, $b=CD=10$ см, $c=AD=21$ см. Радиус $R$ описанной окружности для треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.

Площадь треугольника $ACD$ найдем как половину произведения основания на высоту:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{AC \cdot CD \cdot AD}{4S_{ACD}} = \frac{17 \cdot 10 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{17 \cdot 10 \cdot 21}{16 \cdot 21} = \frac{17 \cdot 10}{16} = \frac{17 \cdot 5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Таким образом, радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, равен $10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.