Номер 226, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Вариант 1. Упражнения - номер 226, страница 28.

Условие 2020.

226. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Условие 2023.

226. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Решение.

Решение 2 (2023).

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $a$, а угол при основании равен углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha$. Осевое сечение вписанного шара — это большой круг этого шара, который является окружностью, вписанной в данный равнобедренный треугольник.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $r$ — радиус вписанного шара.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $a$, гипотенузой является образующая $a$. Угол между образующей $a$ и радиусом $R$ равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника находим радиус основания конуса $R$:
$R = a \cdot \cos(\alpha)$

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в осевое сечение окружности. Центр этой окружности лежит на высоте конуса (которая является и биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника) и на пересечении биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $R$ и радиус вписанной окружности $r$. Угол, противолежащий катету $r$, равен половине угла при основании, то есть $\frac{\alpha}{2}$, так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

Из этого треугольника имеем соотношение: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = R \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим выражение для $R$, найденное ранее: $r = a \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь большого круга шара $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим в нее найденное выражение для $r$: $S = \pi \left(a \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = \pi a^2 \cos^2(\alpha) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Можно также использовать формулу тангенса половинного угла $\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$, чтобы представить ответ в другом виде: $S = \pi a^2 \cos^2(\alpha) \frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$

Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $\pi a^2 \cos^2(\alpha) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$