Номер 222, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 16 см и перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 10 см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 16 см и перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 10 см.

Пусть осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция $ABCD$, где $CD$ — большее основание, а $AD$ — боковая сторона (образующая). Пусть $R$ и $r$ — радиусы нижнего и верхнего оснований конуса, а $l$ — его образующая. Тогда $CD = 2R$, $AB = 2r$, и $AD = l$. Диагональ осевого сечения — это диагональ трапеции $AC$. По условию, $AC = 16$ см. Также по условию диагональ $AC$ перпендикулярна образующей $AD$, следовательно, $\angle CAD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Около усечённого конуса описана сфера радиусом $R_{сф} = 10$ см. Это означает, что около осевого сечения (трапеции $ABCD$) описана окружность, радиус которой равен радиусу сферы. Эта окружность также является описанной окружностью для треугольника $ACD$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. В треугольнике $ACD$ гипотенузой является сторона $CD$. Таким образом:$R_{сф} = \frac{CD}{2}$Поскольку $CD = 2R$, получаем:$R_{сф} = \frac{2R}{2} = R$Из условия $R_{сф} = 10$ см, следовательно, радиус нижнего основания конуса $R = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину образующей $l$ из прямоугольного треугольника $ACD$ по теореме Пифагора:$CD^2 = AC^2 + AD^2$$(2R)^2 = 16^2 + l^2$$(2 \cdot 10)^2 = 256 + l^2$$400 = 256 + l^2$$l^2 = 400 - 256 = 144$$l = 12$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности нам также нужен радиус верхнего основания $r$. Проведём в трапеции $ABCD$ высоту $AH_1$ из вершины $A$ на основание $CD$. $AH_1$ является высотой усечённого конуса $h$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ высота $AH_1$, проведённая к гипотенузе $CD$, может быть найдена через площадь треугольника.Площадь треугольника $ACD$ можно вычислить двумя способами:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$.$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH_1 = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h = 10h$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$10h = 96 \implies h = 9.6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, образующей $l$ и отрезком на нижнем основании, равным $R-r$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$$12^2 = (9.6)^2 + (10-r)^2$$144 = 92.16 + (10-r)^2$$(10-r)^2 = 144 - 92.16 = 51.84$$10-r = \sqrt{51.84} = 7.2$$r = 10 - 7.2 = 2.8$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усечённого конуса по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$:$S_{бок} = \pi(10 + 2.8) \cdot 12 = \pi \cdot 12.8 \cdot 12 = 153.6\pi$ см$^2$.

Ответ: $153.6\pi$ см$^2$.