Номер 227, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса — 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – длина его образующей.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара – окружность, вписанную в этот треугольник. Обозначим:

• $S$ – вершина конуса.
• $H$ – центр основания конуса.
• $O$ – центр вписанного шара. Точки $S$, $O$, $H$ лежат на оси конуса.
• $SA$ – образующая конуса ($L$), где $A$ – точка на окружности основания.
• $HA$ – радиус основания конуса ($R$).
• $SH$ – высота конуса ($H$).

По условию задачи, радиус вписанного шара $r = 12$ см, а расстояние от центра шара до вершины конуса $SO = 20$ см.

Проведем радиус шара $OK$ к точке касания с образующей $SA$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK \perp SA$. Длина этого радиуса $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. В нем известны гипотенуза $SO = 20$ см и катет $OK = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $SK$:

$SK = \sqrt{SO^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHA$, который является половиной осевого сечения конуса. Треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SHA$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $S$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OK}{HA} = \frac{SO}{SA} = \frac{SK}{SH}$

Подставим известные значения и обозначения переменных:

$\frac{12}{R} = \frac{20}{L} = \frac{16}{H}$

Высота конуса $H$ складывается из двух отрезков на оси: расстояния от вершины до центра шара ($SO$) и радиуса шара ($OH$, так как шар касается основания в точке $H$).

$H = SH = SO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Теперь, зная высоту $H$, мы можем найти радиус основания $R$ и образующую $L$ из пропорции:

Из соотношения $\frac{16}{H} = \frac{20}{L}$ найдем $L$:

$\frac{16}{32} = \frac{20}{L} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{L} \Rightarrow L = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Из соотношения $\frac{12}{R} = \frac{16}{H}$ найдем $R$:

$\frac{12}{R} = \frac{16}{32} \Rightarrow \frac{12}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 24 \cdot 40 = 960\pi$ см$^2$.

Ответ: $960\pi$ см$^2$.