Номер 231, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Центр шара, вписанного в усечённый конус, удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Центр шара, вписанного в усечённый конус, удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Пусть усечённый конус имеет радиусы оснований $r_1$ и $r_2$, образующую $l$ и высоту $H$. Пусть в конус вписан шар радиуса $R$ с центром в точке $O$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Центр этой окружности $O$ совпадает с центром вписанного шара. Высота трапеции равна высоте конуса $H$, и так как шар касается обоих оснований конуса, его диаметр равен высоте конуса, то есть $H = 2R$. Центр шара $O$ находится на оси конуса на равном расстоянии $R$ от плоскостей обоих оснований.

По условию, центр шара $O$ удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Пусть $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Эти расстояния являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках, где катетами являются радиус соответствующего основания ($r_1$ или $r_2$) и расстояние от центра шара до плоскости этого основания (которое равно $R$).

Таким образом, мы можем составить два уравнения на основе теоремы Пифагора:

$R^2 + r_1^2 = d_1^2 = 12^2 = 144$

$R^2 + r_2^2 = d_2^2 = 16^2 = 256$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, существует важное свойство: сумма длин оснований осевого сечения (трапеции) равна сумме длин боковых сторон. В нашем случае это означает $2r_1 + 2r_2 = 2l$, откуда следует, что $l = r_1 + r_2$.

Подставив это свойство в формулу площади боковой поверхности, получим:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) (r_1 + r_2) = \pi (r_1 + r_2)^2$

Теперь нам нужно найти значение $(r_1 + r_2)^2$. Для этого воспользуемся еще одним свойством осевого сечения. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции $H=2R$, частью большего основания $(r_2 - r_1)$ и боковой стороной $l$, по теореме Пифагора имеем:

$l^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Заменим $l$ на $(r_1 + r_2)$ и $H$ на $2R$:

$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_2 - r_1)^2$

$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 + r_1^2$

$4r_1r_2 = 4R^2$

$r_1r_2 = R^2$

Теперь раскроем скобки в выражении для площади:

$S_{бок} = \pi (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)$

Из первых двух уравнений, полученных из условия, выразим $r_1^2$ и $r_2^2$:

$r_1^2 = 144 - R^2$

$r_2^2 = 256 - R^2$

Подставим эти выражения и соотношение $r_1r_2 = R^2$ в формулу для площади:

$S_{бок} = \pi ( (144 - R^2) + 2(R^2) + (256 - R^2) )$

$S_{бок} = \pi (144 - R^2 + 2R^2 + 256 - R^2)$

$S_{бок} = \pi (144 + 256 - R^2 - R^2 + 2R^2)$

$S_{бок} = \pi (400) = 400\pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности усечённого конуса равна $400\pi$ см².

Ответ: $400\pi \text{ см}^2$.