Номер 237, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с боковой гранью, содержащей эту сторону, угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с боковой гранью, содержащей эту сторону, угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим его измерения (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$.
Из условия задачи имеем:
Одна из сторон основания, пусть $a = AB = 8$ см.
Диагональ параллелепипеда, пусть $D = AC_1 = 16$ см.
Угол между диагональю $AC_1$ и боковой гранью, содержащей сторону $AB$ (то есть гранью $ABB_1A_1$), равен $45^\circ$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
Найдём проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $C_1$ на эту плоскость. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Следовательно, точка $B_1$ является проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.
Тогда отрезок $AB_1$ является проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.
Угол между диагональю $AC_1$ и её проекцией $AB_1$ — это угол $\angle C_1AB_1$, и по условию он равен $45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1B_1$. Так как $B_1C_1 \perp$ плоскости $(ABB_1)$, то $B_1C_1 \perp AB_1$. Следовательно, $\triangle AC_1B_1$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle AB_1C_1$.
В этом треугольнике:
- гипотенуза $AC_1 = D = 16$ см.
- острый угол $\angle C_1AB_1 = 45^\circ$.
- катет $B_1C_1$ равен другому ребру основания $b$ ($B_1C_1 = BC = b$).
- катет $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

Найдём катеты $B_1C_1$ и $AB_1$ из прямоугольного треугольника $\triangle AC_1B_1$:
$b = B_1C_1 = AC_1 \cdot \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$AB_1 = AC_1 \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём высоту параллелепипеда $c$. Рассмотрим прямоугольную боковую грань $ABB_1A_1$ и её диагональ $AB_1$. Треугольник $\triangle ABB_1$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
где $AB = a = 8$ см, $BB_1 = c$ (высота), и $AB_1 = 8\sqrt{2}$ см.
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + c^2$
$128 = 64 + c^2$
$c^2 = 128 - 64 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$ см.

Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 8$ см, $b = 8\sqrt{2}$ см, $c = 8$ см.
Теперь можем найти объём параллелепипеда $V$:
$V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 512\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $512\sqrt{2}$ см$^3$.