Номер 242, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и углом $45^\circ$. Объём призмы равен $108 \text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и углом $45^\circ$. Объём призмы равен $108 \text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$ и $b$. По условию, один катет равен 6 см, а один из острых углов — 45°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один из углов прямой (90°), то второй острый угол также равен $180° - 90° - 45° = 45°$. Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны: $a = b = 6$ см.

Площадь основания призмы ($S_{осн}$) равна площади этого прямоугольного треугольника:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см².

Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы. По условию, $V = 108$ см³. Выразим и найдем высоту призмы:$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{108}{18} = 6$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Для нахождения периметра нам необходимо знать длину всех сторон основания. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим периметр основания:$P_{осн} = a + b + c = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 12 \cdot 6 + 6\sqrt{2} \cdot 6 = 72 + 36\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72 + 36\sqrt{2}$ см².