Номер 241, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

241. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю призмы ($d$), её проекцией на плоскость основания и высотой призмы ($H$). В этом треугольнике:

• гипотенуза — большая диагональ призмы $d$;
• катет, противолежащий углу $\alpha$ — высота призмы $H$;
• катет, прилежащий к углу $\alpha$ — проекция большой диагонали призмы на основание. Эта проекция является большой диагональю правильного шестиугольника в основании (обозначим её $D_{осн}$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим высоту призмы и большую диагональ основания:

$H = d \cdot \sin(\alpha)$

$D_{осн} = d \cdot \cos(\alpha)$

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника ($D_{осн}$) в два раза больше его стороны ($a$). Следовательно, $D_{осн} = 2a$.

Выразим сторону шестиугольника $a$ через $d$ и $\alpha$:

$2a = d \cdot \cos(\alpha) \Rightarrow a = \frac{d \cdot \cos(\alpha)}{2}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d \cdot \cos(\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2 \cos^2(\alpha)}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} d^2 \cos^2(\alpha)$

Теперь, зная площадь основания $S_{осн}$ и высоту $H$, мы можем найти объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{3\sqrt{3}}{8} d^2 \cos^2(\alpha)\right) \cdot (d \sin(\alpha)) = \frac{3\sqrt{3}}{8} d^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{8}d^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$