Номер 244, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани равна 17 см, а площадь боковой поверхности — 480 $см^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани равна 17 см, а площадь боковой поверхности — 480 $ \text{см}^2 $. Найдите объём призмы.

Поскольку призма правильная четырёхугольная, её основание — квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники. Обозначим сторону основания призмы как $a$, а высоту (боковое ребро) как $h$.

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 17 см. По теореме Пифагора для боковой грани имеем:

$a^2 + h^2 = 17^2$

$a^2 + h^2 = 289$

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх одинаковых боковых граней. Площадь одной боковой грани равна $a \cdot h$. Следовательно:

$S_{бок} = 4ah$

По условию $S_{бок} = 480 \text{ см}^2$, значит:

$4ah = 480$

$ah = \frac{480}{4}$

$ah = 120$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h$:

$\begin{cases}a^2 + h^2 = 289 \\ah = 120\end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $h$ через $a$: $h = \frac{120}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$a^2 + (\frac{120}{a})^2 = 289$

$a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a > 0$, то $a^2 \neq 0$):

$a^4 + 14400 = 289a^2$

$a^4 - 289a^2 + 14400 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = a^2$. Тогда уравнение примет вид:

$x^2 - 289x + 14400 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921$

$\sqrt{D} = \sqrt{25921} = 161$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225$

$x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Вернёмся к замене $x = a^2$. Мы получили два возможных значения для квадрата стороны основания:

1. $a^2 = 225 \implies a = 15$ см.

2. $a^2 = 64 \implies a = 8$ см.

Для каждого значения $a$ найдём соответствующую высоту $h$ из уравнения $h = \frac{120}{a}$:

1. Если $a = 15$ см, то $h = \frac{120}{15} = 8$ см.

2. Если $a = 8$ см, то $h = \frac{120}{8} = 15$ см.

Таким образом, существуют два варианта призмы, удовлетворяющих условиям задачи. Найдём объём для каждого из них. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Случай 1: Сторона основания $a = 15$ см, высота $h = 8$ см.

Объём призмы: $V_1 = a^2h = 15^2 \cdot 8 = 225 \cdot 8 = 1800 \text{ см}^3$.

Случай 2: Сторона основания $a = 8$ см, высота $h = 15$ см.

Объём призмы: $V_2 = a^2h = 8^2 \cdot 15 = 64 \cdot 15 = 960 \text{ см}^3$.

Оба найденных значения являются решением, так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какая из сторон боковой грани (сторона основания или высота призмы) является большей.

Ответ: $1800 \text{ см}^3$ или $960 \text{ см}^3$.