Номер 249, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы $V$ используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

В условии дано, что высота призмы равна $h$, то есть $H=h$.Основанием является правильный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:$$ S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$Таким образом, задача сводится к нахождению стороны основания $a$.

Рассмотрим призму $ABCA_1B_1C_1$, где $\triangle ABC$ — нижнее основание. Пусть $O$ — центр нижнего основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). По условию, проекцией одной из вершин верхнего основания, например $A_1$, на плоскость нижнего основания является точка $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина является высотой призмы. То есть $A_1O = h$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA$. Так как $A_1O$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а отрезок $AO$ лежит в этой плоскости, то $\triangle A_1OA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1OA$. В этом треугольнике:

• $A_1O = h$ — катет, равный высоте призмы.
• $A_1A$ — гипотенуза, являющаяся боковым ребром призмы.
• $AO = R$ — катет, являющийся радиусом окружности, описанной около основания $\triangle ABC$.

По условию, боковое ребро $A_1A$ образует с высотой $A_1O$ угол $\beta$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ это угол $\angle OA_1A = \beta$.

Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ найдем катет $AO$:$$ \tan(\beta) = \frac{AO}{A_1O} $$$$ \tan(\beta) = \frac{R}{h} $$Отсюда выразим радиус $R$:$$ R = h \cdot \tan(\beta) $$

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, связан с этой стороной формулой:$$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

Приравняем два полученных выражения для $R$:$$ \frac{a}{\sqrt{3}} = h \cdot \tan(\beta) $$Теперь найдем сторону основания $a$:$$ a = h\sqrt{3}\tan(\beta) $$

Подставим найденное значение $a$ в формулу для площади основания:$$ S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(h\sqrt{3}\tan(\beta))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \cdot 3 \cdot \tan^2(\beta) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^2\tan^2(\beta) $$

Наконец, вычислим объём призмы:$$ V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}h^2\tan^2(\beta)\right) \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^3\tan^2(\beta) $$

Ответ:$V = \frac{3\sqrt{3}}{4}h^3\tan^2(\beta)$.