Номер 256, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $6\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

256. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $6\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Пусть сторона основания равна $a$. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания (центр описанной и вписанной окружностей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды ($l$), её высотой ($H$) и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией. По условию, этот угол равен $45^\circ$.

В нашем прямоугольном треугольнике:

• гипотенуза — боковое ребро $l = 6\sqrt{2}$ см;
• один катет — высота пирамиды $H$;
• второй катет — радиус описанной окружности $R = a$;
• угол между гипотенузой и катетом $R$ равен $45^\circ$.

Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, следовательно, его катеты равны: $H = R = a$.

Найдем катеты $H$ и $a$ из этого треугольника:

$H = l \cdot \sin(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6$ см.

Так как $H = a$, то сторона основания $a = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^3$.