Номер 259, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания $ABC$, тогда $SO$ — высота пирамиды $H$.

Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания $BC$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём апофему $SM$ (где $M$ — середина $BC$). Так как треугольник $SBC$ равнобедренный ($SB=SC$), медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$. В основании $AM$ — медиана, а в равностороннем треугольнике $ABC$ она же и высота, то есть $AM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABC$. По условию, $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды ($SO \perp$ плоскости $ABC$, а значит $SO \perp OM$). Поскольку один из острых углов этого треугольника, $\angle SMO$, равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle OSM$ равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $SOM$ — равнобедренный, и $SO = OM$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $SBC$. Обозначим его $OK$. Поскольку плоскость $SAM$ перпендикулярна прямой $BC$ (так как $AM \perp BC$ и $SM \perp BC$), то плоскость $SAM$ перпендикулярна плоскости $SBC$. Следовательно, перпендикуляр $OK$ лежит в плоскости $SAM$ и перпендикулярен линии их пересечения $SM$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $SOM$, проведённая к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OKM$ (с прямым углом $K$). В нем известен катет $OK = 3$ см и угол $\angle KMO = 45^\circ$. Из этого треугольника можем найти гипотенузу $OM$:
$OM = \frac{OK}{\sin(\angle KMO)} = \frac{3}{\sin(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ см.

Так как $SO = OM$, то высота пирамиды $H = SO = 3\sqrt{2}$ см.

Отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$. Зная радиус $r = OM$, найдём сторону основания $a$. Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$3\sqrt{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$a = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{6}$ см.

Теперь найдём площадь основания $S_{осн}$. Формула площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = \frac{(6\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{216\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{3 \cdot 2} = 54\sqrt{6}$ см$^3$.

Ответ: $54\sqrt{6}$ см$^3$.