Номер 266, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $b$ и противолежащим ему углом $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $b$ и противолежащим ему углом $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$. По условию, один катет равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Пусть это будет катет $a = b$, тогда противолежащий угол равен $\beta$. Найдём второй катет, который мы обозначим $a'$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a'}$

Отсюда выразим второй катет $a'$:

$a' = \frac{b}{\tan \beta} = b \cot \beta$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a' = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cot \beta) = \frac{b^2 \cot \beta}{2}$

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы $c$.

Найдем гипотенузу $c$ из того же прямоугольного треугольника в основании:

$\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Отсюда гипотенуза $c$ равна:

$c = \frac{b}{\sin \beta}$

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{c}{2} = \frac{b}{2\sin \beta}$

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на плоскость основания) и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией (радиусом $R$) равен заданному углу $\phi$. В этом треугольнике:

$\tan \phi = \frac{H}{R}$

Выразим высоту пирамиды $H$:

$H = R \tan \phi = \frac{b \tan \phi}{2\sin \beta}$

3. Нахождение объёма пирамиды

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$, мы можем вычислить объём пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{b^2 \cot \beta}{2}\right) \cdot \left(\frac{b \tan \phi}{2\sin \beta}\right)$

$V = \frac{b^3 \cot \beta \tan \phi}{12 \sin \beta}$

Используя тождество $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$, можно упростить выражение:

$V = \frac{b^3 \left(\frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right) \tan \phi}{12 \sin \beta} = \frac{b^3 \cos \beta \tan \phi}{12 \sin^2 \beta}$

Ответ: $V = \frac{b^3 \cos\beta \tan\phi}{12\sin^2\beta}$.