Номер 267, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания пирамиды.

Основанием является треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S_{осн} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см².

Найдем высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны через заданный двугранный угол $\alpha = 60^\circ$ соотношением: $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу, связывающую его с площадью и полупериметром: $S_{осн} = p \cdot r$.

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{126}{27} = \frac{14}{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(60^\circ) = \frac{14}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$ см.

Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 126 \cdot \frac{14\sqrt{3}}{3} = \frac{126 \cdot 14\sqrt{3}}{9}$.

Так как $126 = 9 \cdot 14$, то:

$V = \frac{9 \cdot 14 \cdot 14\sqrt{3}}{9} = 14^2 \cdot \sqrt{3} = 196\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $196\sqrt{3}$ см³.