Номер 265, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $6 \text{ см}$ и боковой стороной $5 \text{ см}$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и основанием 6 см. Проведем высоту $h$ к основанию этого треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по 3 см.

Из получившегося прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины треугольника равно радиусу $R$ этой окружности.

Найдем радиус описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь:

$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу 60°, а $R$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$H = R \cdot \tan(60°) = \frac{25}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{8}$ см.

3. Найдем объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = \frac{100\sqrt{3}}{8} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.