Номер 262, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Основание $ABCD$ является квадратом. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины $S$. Пусть $SM$ — апофема грани $SBC$ (где $M$ — середина ребра $BC$) и $SN$ — апофема грани $SDC$ (где $N$ — середина ребра $CD$).

Согласно условию задачи, длина апофемы $SM = SN = a$, а угол между апофемами соседних граней $\angle MSN = \alpha$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма необходимо определить сторону основания и высоту пирамиды.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $MSN$, в котором $SM = SN = a$ и $\angle MSN = \alpha$. По теореме косинусов найдем длину стороны $MN$: $MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\alpha) = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим: $MN^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, $MN = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Таким образом, $MN$ является средней линией треугольника $BCD$ и равен половине диагонали $BD$. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда диагональ $BD = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$, а $MN = \frac{BD}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для длины отрезка $MN$, чтобы найти сторону основания $x$: $\frac{x\sqrt{2}}{2} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда $x = \frac{4a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь основания пирамиды (площадь квадрата) равна: $S_{осн} = x^2 = (2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = 8a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Далее найдем высоту пирамиды $H = SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором гипотенузой является апофема $SM = a$, а катетами — высота $SO=H$ и отрезок $OM$. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому его длина равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}$. $OM = \frac{2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = \sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$: $H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2 = a^2 - (\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = a^2 - 2a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем $H^2 = a^2\cos(\alpha)$, откуда $H = a\sqrt{\cos(\alpha)}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(8a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot (a\sqrt{\cos(\alpha)}) = \frac{8}{3}a^3\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{8}{3}a^3\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos(\alpha)}$.