Номер 257, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

257. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°.

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 12$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Нахождение высоты пирамиды

Угол, который боковая грань образует с плоскостью основания, равен $30^\circ$. Этот угол ($\alpha$) является углом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($H$), апофемой и радиусом вписанной в основание окружности ($r$). В этом треугольнике высота $H$ и радиус $r$ являются катетами, и они связаны соотношением $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и угол, найдём высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Вычисление объёма

Зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 2 = 12\sqrt{3} \cdot 2 = 24\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см³.