Номер 251, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Все грани призмы — равные ромбы со стороной 8 см и углом $60^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Все грани призмы — равные ромбы со стороной 8 см и углом $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Поскольку все грани призмы — равные ромбы, данная фигура является ромбоэдром. Ромбоэдр — это частный случай параллелепипеда, поэтому его объём можно найти по формуле объёма параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.

Основание призмы — это ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(60°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Пусть основание ромбоэдра — это ромб $ABCD$ с острым углом $\angle DAB = 60°$, а боковое ребро — $AA'$. Все ребра ромбоэдра равны 8 см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AB = AD = 8$ см и угол между ними $\angle DAB = 60°$, этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны 8 см, в том числе и малая диагональ ромба $BD = 8$ см.

Так как все грани — равные ромбы, то боковые грани $ABB'A'$ и $ADD'A'$ также являются ромбами со стороной 8 см и углом 60°. Это означает, что треугольники $A'AB$ и $A'AD$ также являются равносторонними (поскольку $AA' = AB = 8$ и $\angle A'AB = 60°$, и аналогично для $A'AD$). Таким образом, $A'B = 8$ см и $A'D = 8$ см.

Рассмотрим пирамиду $A'ABD$. Мы установили, что все её рёбра равны 8 см ($A'A = A'B = A'D = AB = AD = BD = 8$), то есть эта пирамида — правильный тетраэдр.

Высота призмы $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A'$ на плоскость основания $ABCD$. Эта высота совпадает с высотой тетраэдра $A'ABD$, опущенной из вершины $A'$. Основание этой высоты (точка $O$) является центром равностороннего треугольника $ABD$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABD$ со стороной $a=8$ см, равен:

$R = AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $A'OA$. Гипотенуза $AA'$ — это ребро призмы ($AA' = 8$ см), катет $AO$ — это найденный радиус ($AO = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см), а второй катет $A'O$ — это искомая высота призмы $H$.

По теореме Пифагора:

$H^2 = (AA')^2 - (AO)^2$

$H^2 = 8^2 - \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = 64 - \frac{64}{3} = \frac{192 - 64}{3} = \frac{128}{3}$

$H = \sqrt{\frac{128}{3}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Вычислим объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём:

$V = S_{осн} \cdot H = 32\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{256 \sqrt{18}}{3}$

Упростим выражение, зная что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$V = \frac{256 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 256\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $256\sqrt{2}$ см³.