Номер 254, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Объем правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объем правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 4 раза больше высоты, а сторона основания — в 6 раз больше стороны основания данной пирамиды?

254. Объем правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объем правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 4 раза больше высоты, а сторона основания — в 6 раз больше стороны основания данной пирамиды?

Объем правильной n-угольной пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Площадь правильного n-угольника, который является основанием пирамиды, пропорциональна квадрату длины его стороны ($a$). То есть, $S_{осн} \sim a^2$.
Обозначим параметры новой пирамиды с индексом "нов": $V_{нов}$, $H_{нов}$, $a_{нов}$ и $S_{осн, нов}$.
Согласно условию задачи:
Высота новой пирамиды в 4 раза больше: $H_{нов} = 4H$.
Сторона основания новой пирамиды в 6 раз больше: $a_{нов} = 6a$.
Теперь найдем, как изменилась площадь основания. Так как площадь пропорциональна квадрату стороны, новая площадь основания $S_{осн, нов}$ будет относиться к старой $S_{осн}$ как квадраты их сторон:
$\frac{S_{осн, нов}}{S_{осн}} = (\frac{a_{нов}}{a})^2 = (\frac{6a}{a})^2 = 6^2 = 36$.
Отсюда $S_{осн, нов} = 36 S_{осн}$.
Теперь можем вычислить объем новой пирамиды, подставив новые значения высоты и площади основания в формулу объема:
$V_{нов} = \frac{1}{3} S_{осн, нов} H_{нов} = \frac{1}{3} (36 S_{осн}) (4H)$.
Сгруппируем числовые множители и выражение для первоначального объема $V$:
$V_{нов} = (36 \cdot 4) \cdot (\frac{1}{3} S_{осн} H) = 144 \cdot V$.
Следовательно, объем новой пирамиды в 144 раза больше объема исходной пирамиды.
Ответ: $144V$.