Номер 247, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 4 см, а угол между диагоналями основания, лежащий против этой стороны, — $60^\circ$. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 4 см, а угол между диагоналями основания, лежащий против этой стороны, — $60^\circ$. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо найти площадь его основания и высоту. Объём вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Нахождение площади основания
Основанием параллелепипеда является прямоугольник $ABCD$. Пусть сторона $AD = 4$ см. Диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Угол между диагоналями, лежащий против стороны $AD$, — это угол $AOD$. По условию, $\angle AOD = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $AO = OD$. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный.

Поскольку один из углов равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Таким образом, $AO = OD = AD = 4$ см.

Длина всей диагонали основания $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь найдём вторую сторону основания, $AB$, из прямоугольного треугольника $ABC$ (или $ABD$). По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$Так как $BC = AD = 4$ см, получаем:$8^2 = AB^2 + 4^2$$64 = AB^2 + 16$$AB^2 = 64 - 16 = 48$$AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = AB \cdot AD = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты параллелепипеда
Высота параллелепипеда $h = BB_1$.Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания $ABC$ угол $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является диагональ $AC$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии их пересечения в одной точке. Проведём в плоскости основания перпендикуляр $BH$ к линии $AC$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1$ является перпендикуляром, а $B_1H$ — наклонной к плоскости основания, и $BH$ — её проекцией. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $BH$ перпендикулярна $AC$, то и наклонная $B_1H$ перпендикулярна $AC$.

Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle B_1HB = 45^\circ$.

Найдём длину $BH$. $BH$ — это высота в прямоугольном треугольнике $ABC$, проведённая к гипотенузе $AC$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BH$$8\sqrt{3} = 4 \cdot BH$$BH = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp$ плоскости основания). Мы знаем, что $\angle B_1HB = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $B_1BH$ — равнобедренный, и его катеты равны:$h = BB_1 = BH = 2\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда
Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём:$V = S_{осн} \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 32 \cdot (\sqrt{3})^2 = 32 \cdot 3 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.