Страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 4 см. Две его противоположные боковые грани — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной $4 \text{ см}$. Две его противоположные боковые грани — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда по условию является квадрат со стороной $a = 4$ см. Площадь основания $S_{осн}$ равна: $S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Нахождение высоты

Пусть данный параллелепипед — $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — нижнее основание. По условию, две противоположные боковые грани, например $ABB'A'$, являются квадратами. Так как сторона основания $AB = 4$ см, то и боковое ребро $AA' = 4$ см. Это также означает, что боковое ребро $AA'$ перпендикулярно ребру основания $AB$, то есть угол $\angle A'AB = 90^\circ$. Две другие боковые грани, $ADD'A'$, являются ромбами с острым углом $60^\circ$. Это означает, что угол между боковым ребром $AA'$ и ребром основания $AD$ равен $60^\circ$, то есть $\angle A'AD = 60^\circ$.

Для нахождения высоты $H$ (длины перпендикуляра из $A'$ на плоскость $ABCD$) введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. Тогда плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Пусть вершина $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота $H$ будет равна $z$.

Длина бокового ребра $AA'$ равна 4 см, следовательно, длина вектора $\vec{AA'}=(x,y,z)$ равна 4, что даёт уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 4^2 = 16$.

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AB$ равен $90^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'}=(x,y,z)$ и $\vec{AB}=(4,0,0)$: $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cos(90^\circ) = 0$. С другой стороны, $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = x \cdot 4 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 4x$. Следовательно, $4x = 0$, откуда $x=0$.

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AD$ равен $60^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'}=(x,y,z)$ и $\vec{AD}=(0,4,0)$: $\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8$. С другой стороны, $\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot 4 + z \cdot 0 = 4y$. Следовательно, $4y = 8$, откуда $y=2$.

Теперь подставим найденные значения $x=0$ и $y=2$ в уравнение длины ребра: $0^2 + 2^2 + z^2 = 16$ $4 + z^2 = 16$ $z^2 = 12$ $z = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, высота параллелепипеда $H = z = 2\sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма

Теперь, зная площадь основания и высоту, находим объём: $V = S_{осн} \cdot H = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $32\sqrt{3} \text{ см}^3$.

253. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = BC = 10$ см, $AC = 12$ см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $9$ см.

253. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $9 \text{ см}$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H$$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды $H = 9$ см. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см.

Для нахождения объёма необходимо сначала вычислить площадь основания $S_{осн}$.

Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Проведём в нём высоту $BH_1$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание $AC$ пополам.

$$AH_1 = H_1C = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH_1$. По теореме Пифагора найдём катет $BH_1$ (высоту треугольника):

$$BH_1 = \sqrt{AB^2 - AH_1^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Теперь, зная основание $AC$ и высоту $BH_1$ треугольника, найдём его площадь:

$$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

Подставим найденную площадь основания и высоту пирамиды в формулу для объёма:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 9 = 16 \cdot 9 = 144 \text{ см}^3$$

Ответ: $144$ см$^3$.

254. Объем правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объем правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 4 раза больше высоты, а сторона основания — в 6 раз больше стороны основания данной пирамиды?

254. Объем правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объем правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 4 раза больше высоты, а сторона основания — в 6 раз больше стороны основания данной пирамиды?

Объем правильной n-угольной пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Площадь правильного n-угольника, который является основанием пирамиды, пропорциональна квадрату длины его стороны ($a$). То есть, $S_{осн} \sim a^2$.
Обозначим параметры новой пирамиды с индексом "нов": $V_{нов}$, $H_{нов}$, $a_{нов}$ и $S_{осн, нов}$.
Согласно условию задачи:
Высота новой пирамиды в 4 раза больше: $H_{нов} = 4H$.
Сторона основания новой пирамиды в 6 раз больше: $a_{нов} = 6a$.
Теперь найдем, как изменилась площадь основания. Так как площадь пропорциональна квадрату стороны, новая площадь основания $S_{осн, нов}$ будет относиться к старой $S_{осн}$ как квадраты их сторон:
$\frac{S_{осн, нов}}{S_{осн}} = (\frac{a_{нов}}{a})^2 = (\frac{6a}{a})^2 = 6^2 = 36$.
Отсюда $S_{осн, нов} = 36 S_{осн}$.
Теперь можем вычислить объем новой пирамиды, подставив новые значения высоты и площади основания в формулу объема:
$V_{нов} = \frac{1}{3} S_{осн, нов} H_{нов} = \frac{1}{3} (36 S_{осн}) (4H)$.
Сгруппируем числовые множители и выражение для первоначального объема $V$:
$V_{нов} = (36 \cdot 4) \cdot (\frac{1}{3} S_{осн} H) = 144 \cdot V$.
Следовательно, объем новой пирамиды в 144 раза больше объема исходной пирамиды.
Ответ: $144V$.

255. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а высота пирамиды — 6 см.

255. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а высота пирамиды — 6 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как пирамида является правильной четырёхугольной, её основанием является квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 4$ см. Найдём площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

Высота пирамиды дана по условию: $H = 6$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = 16 \cdot \frac{6}{3} = 16 \cdot 2 = 32$ см³.

Ответ: 32 см³.

256. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $6\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

256. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $6\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Пусть сторона основания равна $a$. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания (центр описанной и вписанной окружностей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды ($l$), её высотой ($H$) и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией. По условию, этот угол равен $45^\circ$.

В нашем прямоугольном треугольнике:

• гипотенуза — боковое ребро $l = 6\sqrt{2}$ см;
• один катет — высота пирамиды $H$;
• второй катет — радиус описанной окружности $R = a$;
• угол между гипотенузой и катетом $R$ равен $45^\circ$.

Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, следовательно, его катеты равны: $H = R = a$.

Найдем катеты $H$ и $a$ из этого треугольника:

$H = l \cdot \sin(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6$ см.

Так как $H = a$, то сторона основания $a = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^3$.

257. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

257. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°.

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 12$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Нахождение высоты пирамиды

Угол, который боковая грань образует с плоскостью основания, равен $30^\circ$. Этот угол ($\alpha$) является углом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($H$), апофемой и радиусом вписанной в основание окружности ($r$). В этом треугольнике высота $H$ и радиус $r$ являются катетами, и они связаны соотношением $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и угол, найдём высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Вычисление объёма

Зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 2 = 12\sqrt{3} \cdot 2 = 24\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см³.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ находится по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания пирамиды.

Основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник. Высота этого треугольника по условию равна $h$. Пусть сторона основания равна $a$. Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через высоту $h$:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2}ah$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдём высоту пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В правильной пирамиде высота опускается в центр основания (центр описанной и вписанной окружностей), который также является точкой пересечения медиан.

Проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ окружности, описанной около треугольника основания. В равностороннем треугольнике медианы (которые являются и высотами) делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус описанной окружности равен $\frac{2}{3}$ высоты основания:

$R = \frac{2}{3}h$.

В нашем прямоугольном треугольнике катетами являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — боковое ребро. Угол $\phi$ по условию — это угол между боковым ребром (гипотенузой) и высотой пирамиды $H$ (прилежащим катетом). Катет $R$ является противолежащим этому углу.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan\phi = \frac{R}{H}$

Отсюда выразим высоту пирамиды $H$:

$H = \frac{R}{\tan\phi} = \frac{\frac{2}{3}h}{\tan\phi} = \frac{2h}{3\tan\phi}$.

3. Вычислим объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{h^2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2h}{3\tan\phi} = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27\tan\phi}$.

Выражение можно также записать с использованием котангенса: $V = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27}\cot\phi$.

Ответ: $V = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27\tan\phi}$.

259. В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания $ABC$, тогда $SO$ — высота пирамиды $H$.

Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания $BC$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём апофему $SM$ (где $M$ — середина $BC$). Так как треугольник $SBC$ равнобедренный ($SB=SC$), медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$. В основании $AM$ — медиана, а в равностороннем треугольнике $ABC$ она же и высота, то есть $AM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABC$. По условию, $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды ($SO \perp$ плоскости $ABC$, а значит $SO \perp OM$). Поскольку один из острых углов этого треугольника, $\angle SMO$, равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle OSM$ равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $SOM$ — равнобедренный, и $SO = OM$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $SBC$. Обозначим его $OK$. Поскольку плоскость $SAM$ перпендикулярна прямой $BC$ (так как $AM \perp BC$ и $SM \perp BC$), то плоскость $SAM$ перпендикулярна плоскости $SBC$. Следовательно, перпендикуляр $OK$ лежит в плоскости $SAM$ и перпендикулярен линии их пересечения $SM$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $SOM$, проведённая к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OKM$ (с прямым углом $K$). В нем известен катет $OK = 3$ см и угол $\angle KMO = 45^\circ$. Из этого треугольника можем найти гипотенузу $OM$:
$OM = \frac{OK}{\sin(\angle KMO)} = \frac{3}{\sin(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ см.

Так как $SO = OM$, то высота пирамиды $H = SO = 3\sqrt{2}$ см.

Отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$. Зная радиус $r = OM$, найдём сторону основания $a$. Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$3\sqrt{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$a = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{6}$ см.

Теперь найдём площадь основания $S_{осн}$. Формула площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = \frac{(6\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{216\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{3 \cdot 2} = 54\sqrt{6}$ см$^3$.

Ответ: $54\sqrt{6}$ см$^3$.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

По условию, дана правильная четырёхугольная пирамида, значит, в её основании лежит квадрат. Диагональное сечение такой пирамиды представляет собой треугольник, сторонами которого являются два противолежащих боковых ребра и диагональ основания. В нашем случае это сечение — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$.

Пусть сторона этого равностороннего треугольника равна $l$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}$. Из этой формулы мы можем выразить квадрат стороны треугольника через его площадь:

$l^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) и её высоту ($H$).

1. Нахождение площади основания.

Диагональ квадрата, лежащего в основании пирамиды, совпадает со стороной диагонального сечения, то есть диагональ $d = l$. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. Подставив $d=l$, получаем $S_{осн} = \frac{l^2}{2}$. Теперь подставим выражение для $l^2$, которое мы нашли ранее:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{2S}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение высоты пирамиды.

Высота правильной пирамиды ($H$) опускается из вершины в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, высота пирамиды совпадает с высотой её диагонального сечения. Высота равностороннего треугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле $H = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы выразить $H$ через $S$, удобно сначала найти $H^2$: $H^2 = \left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3l^2}{4}$. Подставим в это выражение $l^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$:

$H^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{3S}{\sqrt{3}} = S\sqrt{3}$

Отсюда, $H = \sqrt{S\sqrt{3}}$.

3. Вычисление объёма пирамиды.

Теперь, имея выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{S\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{2S}{3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{S} \cdot \sqrt{\sqrt{3}} = \frac{2S\sqrt{S} \cdot 3^{1/4}}{3 \cdot 3^{1/2}} = \frac{2S\sqrt{S}}{3^{3/2 - 1/4}} = \frac{2S\sqrt{S}}{3^{5/4}}$

Чтобы представить ответ в более стандартном виде, избавимся от иррациональности в знаменателе:

$V = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt[4]{3}} = \frac{2S\sqrt{S} \cdot \sqrt[4]{3^3}}{3\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3^3}} = \frac{2S\sqrt{S}\sqrt[4]{27}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt[4]{27}S\sqrt{S}}{9}$

Ответ: $V = \frac{2\sqrt[4]{27}S\sqrt{S}}{9}$.

261. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4$ см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания $a = 4$ см. Площадь основания равна:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Найдём высоту пирамиды
Двугранный угол при боковом ребре равен $120^\circ$. Чтобы использовать это значение, построим линейный угол. Пусть дана пирамида SABCD с вершиной S. В гранях SAB и SBC проведём перпендикуляры AK и CK к общему ребру SB. Угол $\angle AKC$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle AKC = 120^\circ$.
Поскольку пирамида правильная, её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Значит, высоты AK и CK, проведённые к боковому ребру SB, равны ($AK = CK$). Таким образом, треугольник AKC является равнобедренным.
Основание этого треугольника, AC, является диагональю квадрата ABCD. Найдём её длину:
$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь в равнобедренном треугольнике AKC применим теорему косинусов для нахождения длины стороны AK:
$AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$
$(4\sqrt{2})^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$32 = 2AK^2 + AK^2$
$32 = 3AK^2 \Rightarrow AK^2 = \frac{32}{3}$.
Пусть длина бокового ребра $SB = L$. Площадь боковой грани $\triangle SAB$ можно выразить двумя способами:
1) Через высоту AK: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AK = \frac{1}{2} L \sqrt{\frac{32}{3}}$.
2) Через апофему SM (высоту к основанию AB): $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{L^2 - (AB/2)^2} = 2\sqrt{L^2-4}$.
Приравнивая эти два выражения, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} L \sqrt{\frac{32}{3}} = 2\sqrt{L^2-4}$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$\frac{L^2}{4} \cdot \frac{32}{3} = 4(L^2-4)$
$\frac{8L^2}{3} = 4L^2 - 16$
$8L^2 = 12L^2 - 48 \Rightarrow 4L^2 = 48 \Rightarrow L^2 = 12$.
Высота пирамиды $H = SO$ (где O — центр основания) находится из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора: $H^2 = SC^2 - OC^2$.
$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
$H^2 = L^2 - OC^2 = 12 - (2\sqrt{2})^2 = 12 - 8 = 4$.
$H = 2$ см.

3. Найдём объём пирамиды
Теперь, зная площадь основания и высоту, вычисляем объём:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{32}{3}$ см³.