Страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 6 см и 6 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 6 см и 6 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

Радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине его пространственной диагонали. Обозначим измерения параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. По условию, $a = 3$ см, $b = 6$ см, $c = 6$ см.

Квадрат пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим значения в формулу:

$d^2 = 3^2 + 6^2 + 6^2 = 9 + 36 + 36 = 81$

Найдем длину пространственной диагонали $d$:

$d = \sqrt{81} = 9$ см.

Диаметр описанной сферы равен пространственной диагонали параллелепипеда. Радиус $R$ сферы равен половине ее диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

197. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а радиус описанного около неё шара – 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

197. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а радиус описанного около неё шара — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $H$ — высота правильной четырехугольной призмы, $R$ — радиус описанного около неё шара, и $a$ — сторона основания призмы.По условию задачи, $H = 6$ см, $R = 9$ см.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.Так как призма правильная, её основание — квадрат. Периметр квадрата со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.Таким образом, $S_{бок} = 4aH$.Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо найти сторону основания $a$.

Для прямой призмы, вписанной в шар, квадрат её главной диагонали $D$ равен сумме квадратов её высоты $H$ и диагонали основания $d_{осн}$:$D^2 = H^2 + d_{осн}^2$.Главная диагональ призмы является диаметром описанного шара, то есть $D = 2R$.Диагональ основания (квадрата) со стороной $a$ равна $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

Подставим эти выражения в формулу:$(2R)^2 = H^2 + (a\sqrt{2})^2$$4R^2 = H^2 + 2a^2$

Теперь подставим известные значения $H = 6$ см и $R = 9$ см:$4 \cdot 9^2 = 6^2 + 2a^2$$4 \cdot 81 = 36 + 2a^2$$324 = 36 + 2a^2$$2a^2 = 324 - 36$$2a^2 = 288$$a^2 = 144$$a = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 4aH = 4 \cdot 12 \cdot 6 = 48 \cdot 6 = 288$ см².

Ответ: $288$ см².

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а диагональ основания образует с одной из сторон основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а диагональ основания образует с одной из сторон основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда $D$ является диаметром описанного около него шара, следовательно, ее длина равна $D = 2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, высотой $c$ и диагональю основания $d$. Угол между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания (то есть ее проекцией $d$) по условию равен $\alpha$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:
Высота $c = D \sin{\alpha} = 2R \sin{\alpha}$
Диагональ основания $d = D \cos{\alpha} = 2R \cos{\alpha}$

Теперь рассмотрим прямоугольное основание со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$. По условию, диагональ основания $d$ образует с одной из сторон основания (пусть это будет сторона $a$) угол $\beta$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике, лежащем в основании, находим стороны $a$ и $b$ :
$a = d \cos{\beta} = (2R \cos{\alpha}) \cos{\beta} = 2R \cos{\alpha} \cos{\beta}$
$b = d \sin{\beta} = (2R \cos{\alpha}) \sin{\beta} = 2R \cos{\alpha} \sin{\beta}$

Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $c$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2R \cos{\alpha} \cos{\beta} + 2R \cos{\alpha} \sin{\beta})(2R \sin{\alpha})$
Вынесем общие множители за скобки и преобразуем выражение:
$S_{бок} = 2 \cdot 2R \cos{\alpha} (\cos{\beta} + \sin{\beta}) \cdot 2R \sin{\alpha}$
$S_{бок} = 8R^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} (\sin{\beta} + \cos{\beta})$
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, чтобы упростить выражение:
$S_{бок} = 4R^2 \cdot (2\sin{\alpha} \cos{\alpha}) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$
$S_{бок} = 4R^2 \sin(2\alpha) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$

Ответ: $4R^2 \sin(2\alpha) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $R$ — радиус шара, описанного около прямой призмы, $H$ — высота призмы, а $r_c$ — радиус окружности, описанной около основания призмы.

Для прямой призмы радиус описанного шара связан с высотой призмы и радиусом окружности, описанной около основания, следующей формулой:$R^2 = r_c^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

Найдем радиус $r_c$ окружности, описанной около основания. Основанием является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащими к нему углами $\alpha$. Угол, противолежащий основанию $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

По теореме синусов для треугольника в основании:$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2r_c$

Так как $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:$\frac{a}{\sin(2\alpha)} = 2r_c$

Отсюда выразим $r_c$:$r_c = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

Теперь подставим найденное значение $r_c$ в формулу для радиуса описанного шара:$R^2 = \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

$R^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(2\alpha)} + \frac{H^2}{4}$

$R^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2 \right)$

Извлекая квадратный корень, находим $R$:$R = \sqrt{\frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2 \right)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2}$

Ответ: $R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2}$

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а её диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а её диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Высота пирамиды $h = SO = 12$ см.

Диагональное сечение пирамиды — это треугольник, образованный двумя боковыми ребрами, проходящими через противоположные вершины основания, и соответствующей диагональю основания. В нашем случае рассмотрим диагональное сечение $SAC$.

Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны: $SA = SC$. Следовательно, треугольник $SAC$ является равнобедренным.

По условию задачи, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию. Таким образом, угол при вершине пирамиды в данном сечении прямой: $\angle ASC = 90^\circ$.

В треугольнике $SAC$ отрезок $SO$ является высотой, опущенной на сторону $AC$, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит и любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$.

В равнобедренном треугольнике $SAC$ высота $SO$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $O$ — середина гипотенузы $AC$.

Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае $SO$ является медианой к гипотенузе $AC$ в прямоугольном треугольнике $SAC$.

Следовательно, мы можем записать равенство: $SO = \frac{1}{2} AC$.

Подставим известное значение высоты $SO = 12$ см:

$12 = \frac{1}{2} AC$

Отсюда находим длину диагонали основания $AC$:

$AC = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Шар, описанный около пирамиды, проходит через все ее вершины ($S$, $A$, $B$, $C$, $D$). Центр этого шара должен быть равноудален от всех вершин. В частности, он должен быть равноудален от вершин $S$, $A$ и $C$, а значит, он совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой треугольника $SAC$ является диагональ $AC$, а ее середина — это точка $O$, центр основания пирамиды.

Таким образом, центр описанного шара совпадает с точкой $O$.

Радиус описанного шара $R$ равен расстоянию от его центра $O$ до любой вершины пирамиды. Найдем это расстояние, например, до вершины $S$ или до вершины $A$.

$R = SO$ и $R = OA$.

Из условия задачи мы знаем, что высота $SO = 12$ см.
Найдем также $OA$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому $OA = \frac{1}{2} AC = \frac{24}{2} = 12$ см.

Оба значения совпадают, что подтверждает наши рассуждения. Таким образом, радиус шара, описанного около пирамиды, равен 12 см.

Ответ: 12 см.

201. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро — $5$ см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро – 5 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина. Сторона основания $a = AB = 4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро $l = SA = 5$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, а её радиус $R$ — искомым радиусом сферы.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой, связывающей радиус описанной сферы, боковое ребро $l$ и высоту пирамиды $H$: $R = \frac{l^2}{2H}$.

1. Найдем диагональ основания AC.
В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см. Его диагональ $d$ равна $a\sqrt{2}$.
$d = AC = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

2. Найдем высоту пирамиды H.
Высота пирамиды $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата) является катетом в прямоугольном треугольнике $SOC$. Гипотенуза этого треугольника — боковое ребро $SC = l = 5$ см, а второй катет $OC$ равен половине диагонали $AC$.
$OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
По теореме Пифагора $SO^2 + OC^2 = SC^2$ найдем высоту $H = SO$:
$H^2 + 4^2 = 5^2$
$H^2 + 16 = 25$
$H^2 = 25 - 16 = 9$
$H = \sqrt{9} = 3$ см.

3. Найдем радиус описанной сферы R.
Теперь, зная боковое ребро $l=5$ см и высоту $H=3$ см, можем вычислить радиус описанной сферы:
$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{5^2}{2 \cdot 3} = \frac{25}{6}$ см.

Ответ: $\frac{25}{6}$ см.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида с вершиной $S$, центром основания $O$ и одной из вершин основания $A$. Высота пирамиды $H$ – это отрезок $SO$. Боковое ребро $SA$ по условию равно $b$.

Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, – это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$, который также является радиусом $R_{осн}$ окружности, описанной около основания. Таким образом, по условию, $\angle SAO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (так как $SO$ – высота, $\angle SOA = 90^\circ$). Из этого треугольника можем выразить высоту $H$ и радиус $R_{осн}$ через известные величины $b$ и $\gamma$: $H = SO = SA \cdot \sin(\gamma) = b \sin(\gamma)$ и $R_{осн} = OA = SA \cdot \cos(\gamma) = b \cos(\gamma)$.

Центр описанной сферы $K$ равноудален от всех вершин пирамиды. Поскольку пирамида правильная, ее центр должен лежать на оси симметрии, то есть на прямой, содержащей высоту $SO$. Пусть радиус описанной сферы равен $R$. Тогда расстояние от центра $K$ до вершин $S$ и $A$ равно $R$, то есть $KS = KA = R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KOA$. По теореме Пифагора имеем $KA^2 = KO^2 + OA^2$. Подставляя известные обозначения, получаем $R^2 = KO^2 + R_{осн}^2$.

Расстояние $KO$ можно выразить через высоту $H$ и радиус сферы $R$. Так как точки $S$, $K$, $O$ лежат на одной прямой, $SO = SK + KO$, откуда $KO = SO - SK = H - R$. Подставим это в предыдущее уравнение: $R^2 = (H - R)^2 + R_{осн}^2$.

Раскроем скобки и упростим: $R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + R_{осн}^2$, что приводит к $2HR = H^2 + R_{осн}^2$. Отсюда находим радиус сферы: $R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H}$.

Наконец, подставим в эту формулу выражения для $H$ и $R_{осн}$ через $b$ и $\gamma$: $R = \frac{(b \sin(\gamma))^2 + (b \cos(\gamma))^2}{2(b \sin(\gamma))} = \frac{b^2 \sin^2(\gamma) + b^2 \cos^2(\gamma)}{2b \sin(\gamma)}$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ в числителе, получаем: $R = \frac{b^2( \sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma))}{2b \sin(\gamma)} = \frac{b^2}{2b \sin(\gamma)}$.

После сокращения дроби на $b$ находим искомый радиус: $R = \frac{b}{2 \sin(\gamma)}$.

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin(\gamma)}$.

203. Угол между боковым ребром и высотой правильной треугольной пирамиды равен $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 6 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Угол между боковым ребром и высотой правильной треугольной пирамиды равен $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 6 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S и основанием ABC. SO — высота пирамиды, равная $H$, где O — центр правильного треугольника ABC, являющийся центром его описанной окружности. Сторона основания равна $a$, боковое ребро равно $l$ (например, $l=SA$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет AO является радиусом окружности, описанной около основания, обозначим его $R_{осн}$. Катет SO — это высота пирамиды $H$. Гипотенуза SA — боковое ребро $l$.

По условию, угол между боковым ребром и высотой равен $45^\circ$, то есть $\angle ASO = 45^\circ$. Так как треугольник ASO прямоугольный, то второй острый угол $\angle SAO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник ASO является равнобедренным, и его катеты равны: $SO = AO$.Следовательно, высота пирамиды равна радиусу описанной окружности основания: $H = R_{осн}$.

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды ($R_{сф}$), можно найти по формуле, связывающей его с высотой пирамиды $H$ и радиусом описанной окружности основания $R_{осн}$:$$ R_{сф} = \frac{R_{осн}^2 + H^2}{2H} $$Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $H = R_{осн}$:$$ R_{сф} = \frac{R_{осн}^2 + R_{осн}^2}{2R_{осн}} = \frac{2R_{осн}^2}{2R_{осн}} = R_{осн} $$

Из условия задачи известно, что радиус описанной сферы $R_{сф} = 6$ см. Таким образом, радиус окружности, описанной около основания пирамиды, также равен 6 см:$R_{осн} = 6$ см.

Радиус окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, выражается формулой:$$ R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} $$Отсюда мы можем выразить сторону основания $a$:$$ a = R_{осн} \cdot \sqrt{3} $$Подставим известное значение $R_{осн}$:$$ a = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} $$

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

204. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=6$ см и $BC=8$ см. Пусть $S$ – вершина пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Пусть $SO$ – высота пирамиды, опущенная на плоскость основания $(ABC)$. Тогда отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются проекциями боковых ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость основания. Углы между боковыми ребрами и плоскостью основания – это углы $\angle SAO$, $\angle SBO$, $\angle SCO$. Следовательно, $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$ (прямые углы при вершине $O$). Они равны по катету ($SO$ – общий) и противолежащему острому углу ($30^\circ$). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз ($SA=SB=SC$) и других катетов: $OA = OB = OC$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин основания $A$, $B$ и $C$, она является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$c = AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус описанной окружности $R_{осн}$ равен половине гипотенузы:

$R_{осн} = OA = OB = OC = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H=SO$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 5 \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Центр шара (сферы), описанного около пирамиды, равноудален от всех ее вершин. Так как он равноудален от вершин основания $A$, $B$, $C$, он лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности $O$. Этот перпендикуляр – прямая, содержащая высоту $SO$.

Пусть $Q$ – центр описанного шара, а $d$ – искомое расстояние от точки $Q$ до плоскости основания. Тогда $d=QO$. Пусть $R_{ш}$ – радиус шара. Тогда $R_{ш} = QA = QS$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle QOA$ (угол $\angle QOA=90^\circ$) по теореме Пифагора имеем:

$QA^2 = QO^2 + OA^2 = d^2 + R_{осн}^2 = d^2 + 5^2$.

Точки $S$, $O$ и $Q$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние $QS$ равно $|SO - QO|$ или $SO+QO$. Запишем это как $QS^2 = (H-d)^2$ (координатный метод показывает, что это общая формула, где $d$ может быть отрицательным, если $Q$ и $S$ лежат по разные стороны от основания).

Приравняем квадраты радиусов $QA^2 = QS^2$:

$d^2 + 5^2 = (H - d)^2$

$d^2 + 25 = H^2 - 2Hd + d^2$

$25 = H^2 - 2Hd$

$2Hd = H^2 - 25$

$d = \frac{H^2 - 25}{2H}$

Подставим значение высоты $H = \frac{5\sqrt{3}}{3}$:

$H^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{25}{3}$.

$d = \frac{\frac{25}{3} - 25}{2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{25 - 75}{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{50}{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = -\frac{50}{10\sqrt{3}} = -\frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Знак "минус" указывает на то, что центр шара $Q$ и вершина пирамиды $S$ находятся по разные стороны от плоскости основания. Расстояние является длиной отрезка, поэтому оно положительно.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.