Номер 202, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида с вершиной $S$, центром основания $O$ и одной из вершин основания $A$. Высота пирамиды $H$ – это отрезок $SO$. Боковое ребро $SA$ по условию равно $b$.

Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, – это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$, который также является радиусом $R_{осн}$ окружности, описанной около основания. Таким образом, по условию, $\angle SAO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (так как $SO$ – высота, $\angle SOA = 90^\circ$). Из этого треугольника можем выразить высоту $H$ и радиус $R_{осн}$ через известные величины $b$ и $\gamma$: $H = SO = SA \cdot \sin(\gamma) = b \sin(\gamma)$ и $R_{осн} = OA = SA \cdot \cos(\gamma) = b \cos(\gamma)$.

Центр описанной сферы $K$ равноудален от всех вершин пирамиды. Поскольку пирамида правильная, ее центр должен лежать на оси симметрии, то есть на прямой, содержащей высоту $SO$. Пусть радиус описанной сферы равен $R$. Тогда расстояние от центра $K$ до вершин $S$ и $A$ равно $R$, то есть $KS = KA = R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KOA$. По теореме Пифагора имеем $KA^2 = KO^2 + OA^2$. Подставляя известные обозначения, получаем $R^2 = KO^2 + R_{осн}^2$.

Расстояние $KO$ можно выразить через высоту $H$ и радиус сферы $R$. Так как точки $S$, $K$, $O$ лежат на одной прямой, $SO = SK + KO$, откуда $KO = SO - SK = H - R$. Подставим это в предыдущее уравнение: $R^2 = (H - R)^2 + R_{осн}^2$.

Раскроем скобки и упростим: $R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + R_{осн}^2$, что приводит к $2HR = H^2 + R_{осн}^2$. Отсюда находим радиус сферы: $R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H}$.

Наконец, подставим в эту формулу выражения для $H$ и $R_{осн}$ через $b$ и $\gamma$: $R = \frac{(b \sin(\gamma))^2 + (b \cos(\gamma))^2}{2(b \sin(\gamma))} = \frac{b^2 \sin^2(\gamma) + b^2 \cos^2(\gamma)}{2b \sin(\gamma)}$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ в числителе, получаем: $R = \frac{b^2( \sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma))}{2b \sin(\gamma)} = \frac{b^2}{2b \sin(\gamma)}$.

После сокращения дроби на $b$ находим искомый радиус: $R = \frac{b}{2 \sin(\gamma)}$.

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin(\gamma)}$.