Номер 205, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Сторона нижнего основания $a_1 = 12$ см, сторона верхнего основания $a_2 = 8$ см, боковое ребро $l = 6\sqrt{2}$ см.Основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды являются квадраты.

Центр сферы, описанной около правильной усечённой пирамиды, лежит на её оси (высоте, проходящей через центры оснований). Все вершины пирамиды лежат на поверхности этой сферы.Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, вершины которой являются вершинами пирамиды и, следовательно, лежат на описанной сфере. Окружность, описанная около этой трапеции, является большой окружностью описанной сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Найдём размеры этой трапеции.Основаниями трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.Длина диагонали нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.Длина диагонали верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.Боковые стороны трапеции равны боковым рёбрам пирамиды, то есть $l = 6\sqrt{2}$ см.

Найдём высоту усечённой пирамиды $H$, которая также является высотой этой трапеции. Проведём высоты из вершин меньшего основания трапеции на большее. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию. Оставшиеся части большего основания будут равны. Длина каждого из этих отрезков равна:$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Высоту $H$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной трапеции $l$, высотой $H$ и отрезком $x$:$H^2 = l^2 - x^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 2) - (4 \cdot 2) = 72 - 8 = 64$ см$^2$.$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около этой равнобедренной трапеции. Введём систему координат. Пусть ось симметрии трапеции совпадает с осью $Oy$, а центр нижнего основания (середины $d_1$) находится в начале координат $(0, 0)$.Тогда координаты вершин трапеции будут:Вершины нижнего основания: $A(-\frac{d_1}{2}, 0) = (-6\sqrt{2}, 0)$ и $C(\frac{d_1}{2}, 0) = (6\sqrt{2}, 0)$.Вершины верхнего основания: $A_1(-\frac{d_2}{2}, H) = (-4\sqrt{2}, 8)$ и $C_1(\frac{d_2}{2}, H) = (4\sqrt{2}, 8)$.

Центр описанной окружности $O$ лежит на оси симметрии $Oy$, поэтому его координаты $(0, y)$. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$. Приравняем квадраты расстояний от центра $O$ до вершин $C$ и $C_1$:$R^2 = OC^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - y)^2 = (6\sqrt{2})^2 + y^2 = 72 + y^2$.$R^2 = OC_1^2 = (4\sqrt{2} - 0)^2 + (8 - y)^2 = (4\sqrt{2})^2 + (8-y)^2 = 32 + 64 - 16y + y^2 = 96 - 16y + y^2$.

Приравняем правые части уравнений:$72 + y^2 = 96 - 16y + y^2$$72 = 96 - 16y$$16y = 96 - 72$$16y = 24$$y = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдём квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $y$ в первое уравнение:$R^2 = 72 + y^2 = 72 + (\frac{3}{2})^2 = 72 + \frac{9}{4} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{288 + 9}{4} = \frac{297}{4}$.

Следовательно, радиус $R$ равен:$R = \sqrt{\frac{297}{4}} = \frac{\sqrt{297}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 33}}{2} = \frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.