Номер 208, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $8 \text{ см}^2$.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $8 \text{ см}^2$.

Пусть $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности призмы, $S_{осн}$ — площадь основания, $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

По условию, в прямую призму вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований призмы и всех её боковых граней.

1. Если шар касается обоих оснований (верхнего и нижнего), то высота призмы $H$ равна диаметру шара $2R$, где $R$ — радиус шара. Таким образом, $H = 2R$.

2. Если шар касается всех боковых граней, то в многоугольник, являющийся основанием призмы, можно вписать окружность. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу шара $R$. Таким образом, $r = R$.

Из этих двух условий следует, что высота призмы связана с радиусом вписанной в основание окружности соотношением $H = 2r$.

Подставим это выражение для высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = P_{осн} \cdot 2r$

Площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, можно найти по формуле:

$S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания ($p = \frac{P_{осн}}{2}$), а $r$ — радиус вписанной окружности.

Перепишем формулу площади основания через полный периметр:

$S_{осн} = \frac{P_{осн}}{2} \cdot r$

Из этой формулы выразим произведение $P_{осн} \cdot r$:

$P_{осн} \cdot r = 2 \cdot S_{осн}$

Теперь вернёмся к формуле для площади боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot 2r$ и преобразуем её:

$S_{бок} = 2 \cdot (P_{осн} \cdot r)$

Подставим в неё полученное ранее выражение для $P_{осн} \cdot r$:

$S_{бок} = 2 \cdot (2 \cdot S_{осн}) = 4 \cdot S_{осн}$

По условию задачи площадь основания $S_{осн} = 8 \text{ см}^2$. Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$

Ответ: 32 см².