Номер 207, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 30°. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

207. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом $30^\circ$. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

Пусть $R$ — радиус вписанного в призму шара. Шар можно вписать в прямую призму тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который является основанием.

Найдем стороны треугольника в основании. Обозначим катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, гипотенуза $c = 8$ см, а один из острых углов равен $30^{\circ}$.
Катет $a$, противолежащий углу $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы:
$a = c \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Второй катет $b$ найдем, используя косинус того же угла или теорему Пифагора. Используем косинус:
$b = c \cdot \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2}$
Подставим известные значения сторон треугольника в формулу:
$r = \frac{4 + 4\sqrt{3} - 8}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 4}{2} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

Поскольку радиус вписанного шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание, то:
$R = r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

Ответ: $2(\sqrt{3} - 1)$ см.