Номер 200, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а её диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а её диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Высота пирамиды $h = SO = 12$ см.

Диагональное сечение пирамиды — это треугольник, образованный двумя боковыми ребрами, проходящими через противоположные вершины основания, и соответствующей диагональю основания. В нашем случае рассмотрим диагональное сечение $SAC$.

Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны: $SA = SC$. Следовательно, треугольник $SAC$ является равнобедренным.

По условию задачи, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию. Таким образом, угол при вершине пирамиды в данном сечении прямой: $\angle ASC = 90^\circ$.

В треугольнике $SAC$ отрезок $SO$ является высотой, опущенной на сторону $AC$, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит и любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$.

В равнобедренном треугольнике $SAC$ высота $SO$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $O$ — середина гипотенузы $AC$.

Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае $SO$ является медианой к гипотенузе $AC$ в прямоугольном треугольнике $SAC$.

Следовательно, мы можем записать равенство: $SO = \frac{1}{2} AC$.

Подставим известное значение высоты $SO = 12$ см:

$12 = \frac{1}{2} AC$

Отсюда находим длину диагонали основания $AC$:

$AC = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Шар, описанный около пирамиды, проходит через все ее вершины ($S$, $A$, $B$, $C$, $D$). Центр этого шара должен быть равноудален от всех вершин. В частности, он должен быть равноудален от вершин $S$, $A$ и $C$, а значит, он совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой треугольника $SAC$ является диагональ $AC$, а ее середина — это точка $O$, центр основания пирамиды.

Таким образом, центр описанного шара совпадает с точкой $O$.

Радиус описанного шара $R$ равен расстоянию от его центра $O$ до любой вершины пирамиды. Найдем это расстояние, например, до вершины $S$ или до вершины $A$.

$R = SO$ и $R = OA$.

Из условия задачи мы знаем, что высота $SO = 12$ см.
Найдем также $OA$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому $OA = \frac{1}{2} AC = \frac{24}{2} = 12$ см.

Оба значения совпадают, что подтверждает наши рассуждения. Таким образом, радиус шара, описанного около пирамиды, равен 12 см.

Ответ: 12 см.