Номер 195, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Взаимное расположение сферы и плоскости. Вариант 1. Упражнения - номер 195, страница 24.

Условие 2020.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 2 см. Радиус шара равен $2\sqrt{3}$ см, а расстояние от центра шара до плоскости одного из сечений равно $2\sqrt{2}$ см. Найдите радиусы сечений.

Условие 2023.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 2 см. Радиус шара равен $2\sqrt{3}$ см, а расстояние от центра шара до плоскости одного из сечений равно $2\sqrt{2}$ см. Найдите радиусы сечений.

Решение.

Решение 2 (2023).

Пусть $R = 2\sqrt{3}$ см — радиус шара, а $AB = 2$ см — общая хорда двух перпендикулярных сечений. Пусть $r_1$ и $r_2$ — искомые радиусы сечений, а $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей этих сечений. По условию, одно из этих расстояний равно $2\sqrt{2}$ см. Примем, что $d_1 = 2\sqrt{2}$ см.

Радиус первого сечения

Радиус шара $R$, радиус сечения $r_1$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d_1$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:$R^2 = d_1^2 + r_1^2$Выразим квадрат радиуса сечения:$r_1^2 = R^2 - d_1^2$Подставим известные значения:$r_1^2 = (2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = 12 - 8 = 4$ см$^2$.Отсюда находим радиус:$r_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Радиус второго сечения

Для нахождения $r_2$ сначала необходимо определить расстояние $d_2$ от центра шара до плоскости второго сечения.Пусть $O$ — центр шара, а $M$ — середина общей хорды $AB$. Тогда $AM = \frac{1}{2}AB = 1$ см. Расстояние от центра шара до хорды $AB$ равно длине отрезка $OM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$, где гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. По теореме Пифагора:$OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - AM^2 = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 12 - 1 = 11$ см$^2$.

Так как плоскости сечений перпендикулярны, квадрат расстояния от центра шара до их линии пересечения (на которой лежит хорда $AB$) равен сумме квадратов расстояний от центра шара до этих плоскостей:$OM^2 = d_1^2 + d_2^2$Подставим известные значения и найдем $d_2^2$:$11 = (2\sqrt{2})^2 + d_2^2$$11 = 8 + d_2^2$$d_2^2 = 11 - 8 = 3$ см$^2$.

Теперь, зная $d_2^2$, можем найти $r_2$ по аналогии с первым сечением:$R^2 = d_2^2 + r_2^2$$r_2^2 = R^2 - d_2^2 = (2\sqrt{3})^2 - 3 = 12 - 3 = 9$ см$^2$.$r_2 = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.