Номер 193, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Стороны треугольника равны 26 см, 28 см и 30 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно 6 см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 26 см, 28 см и 30 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно 6 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Пусть данный треугольник лежит в плоскости $\alpha$. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. По условию, $h = OH = 6$ см.

Поскольку шар касается всех сторон треугольника, его центр $O$ равноудален от этих сторон. Проекция центра шара на плоскость треугольника, точка $H$, также будет равноудалена от сторон треугольника. Это означает, что точка $H$ является центром окружности, вписанной в треугольник.

Пусть $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности. Тогда расстояние от точки $H$ до любой из сторон треугольника равно $r$. Пусть $K$ — точка касания шара с одной из сторон треугольника. Тогда $OK$ — это радиус шара $R$, и $OK$ перпендикулярен этой стороне. Отрезок $HK$ — это радиус вписанной окружности $r$, и $HK$ также перпендикулярен этой стороне.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHK$. Его катеты — это $OH = h = 6$ см и $HK = r$, а гипотенуза — $OK = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$

Чтобы найти радиус шара $R$, нам нужно сначала вычислить радиус вписанной в треугольник окружности $r$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности ($r$)

Стороны треугольника равны $a = 26$ см, $b = 28$ см, $c = 30$ см. Радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}$
$S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$
Разложим числа под корнем на множители для удобства вычисления:
$S = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6^2 \cdot 7^2}$
$S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 7 = 8 \cdot 42 = 336$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8$ см.

2. Нахождение радиуса шара ($R$)

Мы нашли радиус вписанной окружности $r = 8$ см. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника дано в условии $h = 6$ см. Теперь мы можем найти радиус шара $R$, используя выведенную ранее формулу: $R = \sqrt{h^2 + r^2}$
$R = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$R = \sqrt{36 + 64}$
$R = \sqrt{100}$
$R = 10$ см.

Ответ: 10 см.