Номер 186, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом $150^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

186. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом 150° лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

Поскольку вершины треугольника лежат на поверхности шара, сам треугольник вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является радиусом описанной около треугольника окружности.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:$2r = \frac{a}{\sin{\alpha}}$где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне.

По условию задачи, нам даны сторона $a = 16$ см и противолежащий ей угол $\alpha = 150^\circ$.Найдем радиус описанной окружности $r$:$r = \frac{a}{2 \sin{\alpha}} = \frac{16}{2 \sin{150^\circ}}$Так как $\sin{150^\circ} = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$, то:$r = \frac{16}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{16}{1} = 16$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения (описанной окружности) $r$ и расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d$ связаны соотношением по теореме Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты.$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, расстояние $d = 12$ см. Мы вычислили, что $r = 16$ см. Теперь можем найти радиус шара $R$:$R = \sqrt{d^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.