Номер 182, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $30^{\circ}$. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $30^\circ$. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

Пусть $O$ - центр шара, а $OA$ - его радиус, равный $R=6$ см. Через точку $A$ (конец радиуса) проведена плоскость, которая пересекает шар. Сечением шара плоскостью является круг.

Обозначим центр этого круга-сечения как $C$, а его радиус как $r$. Площадь сечения $S$ можно найти по формуле площади круга: $S = \pi r^2$.

Рассмотрим треугольник $OСA$. Отрезок $OC$ является перпендикуляром, опущенным из центра шара на плоскость сечения, поэтому треугольник $OСA$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R = 6$ см, а катет $CA$ равен радиусу сечения $r$.

Угол между радиусом $OA$ и плоскостью сечения по определению равен углу между этим радиусом и его проекцией на эту плоскость. Проекцией радиуса $OA$ на плоскость сечения является отрезок $CA$. Следовательно, по условию задачи, угол $\angle OAC = 30^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $OСA$ найдем радиус сечения $r = CA$. Катет $CA$ является прилежащим к углу $\angle OAC$, поэтому он связан с гипотенузой $OA$ через косинус:
$r = CA = OA \cdot \cos(\angle OAC) = R \cdot \cos(30^\circ)$.

Подставим известные значения:
$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь сечения (круга):
$S = \pi r^2 = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^2$.

Ответ: $27\pi$ см$^2$.