Номер 184, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть радиус шара равен $R$, а его диаметр $D = 2R$. Для удобства расчётов поместим центр шара в начало координат $(0,0,0)$, а данный диаметр расположим на оси $Ox$. Таким образом, концы диаметра будут находиться в точках с координатами $(-R, 0, 0)$ и $(R, 0, 0)$.

Диаметр разделён двумя точками на три части в отношении $2:3:5$. Найдём длины этих частей. Сумма частей отношения равна $2+3+5=10$. Общая длина диаметра равна $2R$. Следовательно, длины сегментов будут:

• $l_1 = \frac{2}{10} \cdot (2R) = \frac{4R}{10} = \frac{2R}{5}$
• $l_2 = \frac{3}{10} \cdot (2R) = \frac{6R}{10} = \frac{3R}{5}$
• $l_3 = \frac{5}{10} \cdot (2R) = \frac{10R}{10} = R$

Проверим: $l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2R}{5} + \frac{3R}{5} + R = \frac{5R}{5} + R = R + R = 2R$, что соответствует длине диаметра.

Теперь определим положение точек деления на диаметре. Пусть отсчёт ведётся от левого конца диаметра (точка с координатой $-R$). Координата первой точки деления, $P_1$, будет:

$x_1 = -R + l_1 = -R + \frac{2R}{5} = -\frac{3R}{5}$

Координата второй точки деления, $P_2$, будет:

$x_2 = x_1 + l_2 = -\frac{3R}{5} + \frac{3R}{5} = 0$

Таким образом, сечения проходят через точки диаметра, находящиеся на расстояниях $h_1 = |x_1| = \frac{3R}{5}$ и $h_2 = |x_2| = 0$ от центра шара.

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной диаметру, является кругом. Радиус $r$ такого круга можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $h$ от центра шара до плоскости сечения и радиус сечения $r$. По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$, откуда $r^2 = R^2 - h^2$. Площадь сечения $S$ равна $S = \pi r^2$.

Вычислим площади двух сечений.

Площадь первого сечения $S_1$, находящегося на расстоянии $h_1 = \frac{3R}{5}$ от центра:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi \left(R^2 - \left(\frac{3R}{5}\right)^2\right) = \pi \left(R^2 - \frac{9R^2}{25}\right) = \pi \left(\frac{25R^2 - 9R^2}{25}\right) = \frac{16\pi R^2}{25}$

Площадь второго сечения $S_2$, находящегося на расстоянии $h_2 = 0$ от центра (это сечение проходит через центр шара и называется большим кругом):

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi (R^2 - 0^2) = \pi R^2$

Найдём отношение площадей этих сечений, $S_1 : S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{16\pi R^2}{25}}{\pi R^2} = \frac{16}{25}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно $16:25$.

Ответ: $16:25$