Номер 179, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M (-3; 1; 4)$, центр сферы принадлежит оси ординат, а радиус сферы равен $\sqrt{29}$.

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M(-3; 1; 4)$, центр сферы принадлежит оси координат, а радиус сферы равен $\sqrt{29}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ записывается в виде:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр сферы принадлежит оси ординат (оси OY). Это означает, что его абсцисса ($x_0$) и аппликата ($z_0$) равны нулю. Таким образом, координаты центра сферы можно записать как $C(0; y_0; 0)$.

Радиус сферы задан и равен $R = \sqrt{29}$. Следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$.

Подставив координаты центра и значение $R^2$ в общее уравнение, получаем уравнение для искомой сферы:
$(x - 0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - 0)^2 = 29$
$x^2 + (y - y_0)^2 + z^2 = 29$.

Нам известно, что сфера проходит через точку $M(-3; 1; 4)$. Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим значения $x = -3$, $y = 1$ и $z = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти значение $y_0$:
$(-3)^2 + (1 - y_0)^2 + 4^2 = 29$
$9 + (1 - y_0)^2 + 16 = 29$
$25 + (1 - y_0)^2 = 29$.

Теперь решим это уравнение относительно $y_0$:
$(1 - y_0)^2 = 29 - 25$
$(1 - y_0)^2 = 4$.
Это уравнение имеет два решения:
1) $1 - y_0 = 2 \implies y_0 = 1 - 2 = -1$
2) $1 - y_0 = -2 \implies y_0 = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы.

В первом случае центр сферы находится в точке $C_1(0; -1; 0)$, и уравнение сферы имеет вид:
$x^2 + (y - (-1))^2 + z^2 = 29$
$x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$.

Во втором случае центр сферы находится в точке $C_2(0; 3; 0)$, и уравнение сферы имеет вид:
$x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 29$.

Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$ или $x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 29$.