Номер 180, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы

Для доказательства необходимо привести данное уравнение к каноническому виду уравнения сферы: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные, и перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 6$.

Теперь применим метод выделения полного квадрата для выражений в скобках. Для этого используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Для переменной $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$.

Для переменной $z$: $z^2 - 6z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (z - 3)^2 - 9$.

Выражение для $x$ уже является полным квадратом: $x^2 = (x - 0)^2$.

Подставим полученные полные квадраты в преобразованное уравнение:

$(x - 0)^2 + ((y + 1)^2 - 1) + ((z - 3)^2 - 9) = 6$.

Перенесем числовые слагаемые из левой части в правую:

$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 6 + 1 + 9$.

$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения $R^2 = 16$ является положительным числом, это доказывает, что исходное уравнение является уравнением сферы.

Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы, так как его можно привести к каноническому виду $x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

укажите координаты центра и радиус этой сферы

Координаты центра и радиус сферы определяются из её канонического уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Сравним полученное нами уравнение $x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$ с каноническим видом:

$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 4^2$.

Отсюда находим параметры сферы:

Координаты центра $(a; b; c)$ равны $(0; -1; 3)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра сферы: $(0; -1; 3)$, радиус сферы: $R = 4$.