Номер 176, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$

Так как отрезок AB является диаметром сферы, ее центр $C$ является серединой этого отрезка. Найдем координаты центра $C$, используя формулы для нахождения координат середины отрезка: $$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ $$z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Следовательно, центр сферы — точка $C(2; 0; 5)$.

Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра AB. Найдем квадрат радиуса $R^2$. Квадрат радиуса равен квадрату расстояния от центра сферы до любой точки на ней, например, до точки A. $$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 + (z_A - z_0)^2$$ $$R^2 = (-2 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + 3^2 + (-1)^2 = 16 + 9 + 1 = 26$$

В качестве альтернативы можно найти квадрат длины диаметра AB, а затем разделить его на 4. $$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 = (6 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2 + (6 - 4)^2$$ $$AB^2 = 8^2 + (-6)^2 + 2^2 = 64 + 36 + 4 = 104$$ $$R^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{104}{4} = 26$$

Подставим найденные координаты центра $C(2; 0; 5)$ и квадрат радиуса $R^2 = 26$ в общее уравнение сферы: $$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 26$$ Упростим запись: $$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$$

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$