Номер 170, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны $\sqrt{2}$ см и $3\sqrt{2}$ см, а высота — 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны $ \sqrt{2} $ см и $ 3\sqrt{2} $ см, а высота – 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Так как правильная четырёхугольная усечённая пирамида вписана в усечённый конус, её основаниями являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Найдём стороны этих квадратов.

Сторона квадрата $a$, вписанного в окружность радиуса $R_{circ}$, связана с радиусом соотношением $a = R_{circ}\sqrt{2}$.

Для большего основания (нижнего) радиус конуса $R = 3\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a_1$ равна:
$a_1 = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Периметр большего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Для меньшего основания (верхнего) радиус конуса $r = \sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a_2$ равна:
$a_2 = r\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см.
Периметр меньшего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Далее найдём апофему $l$ усечённой пирамиды. Апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота пирамиды $h$ и разность апофем оснований $m_1 - m_2$. Апофема основания квадрата (радиус вписанной в него окружности) равна половине его стороны.

Апофема большего основания: $m_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Апофема меньшего основания: $m_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Высота пирамиды $h$ равна высоте конуса, $h=1$ см.
По теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + (m_1 - m_2)^2} = \sqrt{1^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2}(24 + 8) \cdot \sqrt{5} = \frac{32}{2}\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{5}$ см$^2$.